Сферическая система координат

Цилиндрическая система координат.

Связь координат произвольной точки Р пространства в цилиндрической системе с координатами в декартовой прямоугольной системе осуществляется по формулам:

Для представления тройного интеграла в цилиндрических координатах вычисляем Якобиан:

Итого:

Связь координат произвольной точки Р пространства в сферической системе с координатами в декартовой прямоугольной системе осуществляется по формулам:

Для представления тройного интеграла в сферических координатах вычисляем Якобиан:

Окончательно получаем:

№14 Площадь поверхности

Рассмотрим кусок поверхности , заданной уравнением . Пусть выполняется условие , что означает, что в каждой точке поверхности существует нормаль с направляющим вектором . Разобьем поверхность сеткой гладких кривых на элементарные области

(разбиение ). Пусть - наибольший из диаметров элементарных областей. Если независимо от разбиения существует , то он и называется площадью данной поверхности. Пусть однозначно проектируется на плоскость xoy и G - эта проекция. Элементу площади области G на плоскости xoy соответствует элемент площади поверхности , равный:

, где - угол между нормалью к поверхности и осью OZ. Поэтому вычисление площади поверхности сводится к вычислению двойного интеграла по проекции поверхности на плоскость. Если поверхность задана уравнением , то и площадь поверхности вычисляется по формуле ,

здесь - проекция поверхности на плоскость xoy. Если поверхность однозначно проектируется на другие координатные плоскости, то соответственно изменится формула вычисления площади поверхности.

№15 Понятие поверхностного интеграла 1 рода

Пусть некоторая функция определена и ограничена на гладкой поверхности . Выберем разбиение поверхности и точки на каждой элементарной области и составим интегральную сумму .

Если независимо от выбора разбиения и точек существует , то он называется поверхностным интегралом по площади поверхности (1-го рода) от функции и обозначается .

Дата добавления: 2015-04-24