КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Экстремум функции многих переменных. Необходимое и достаточное условие
Дифференцирование функции нескольких переменных. Полный дифференциал, его геометрический смысл. Если каждой точке М(х1,х2,…,хn) из множества D точек пространства R поставлено в соответствие по некоторому закону число z,то говорят, что на множестве D определена функция n переменных. z = f(x1,x2,…,xn). Пусть функция u = f (x 1, x 2, …, xn) определена в некоторой окрестности точки a = (a 1, a 2, …, an). Определение 1. Функция u = f (x 1, x 2, …, xn) называется дифференцируемой в точке a = (a 1, a 2, …, an), если ее полное приращение
можно представить в виде
где Ak — некоторые числа, не зависящие от Δ xk (k = 1,2, …,n), αk — функции Δ x 1, …, Δ xn, бесконечно малые при Δ x 1 → 0, …, Δ xn → 0 и равные нулю при Δ x 1 = 0, …, Δ xn = 0. Определение 2. Если функция u = f (x 1, x 2, …, xn) дифференцируема в точке a = (a 1, a 2, …, an), то линейная относительно Δ x 1, …, Δ xn часть ее приращения называется дифференциалом (или полным дифференциалом) функции u в точке a. Таким образом Определение. Если для функции z = f(x, y), определенной в некоторой области, в некоторой окрестности точки М0(х0, у0) верно неравенство
то точка М0 называется точкой максимума. Определение. Если для функции z = f(x, y), определенной в некоторой области, в некоторой окрестности точки М0(х0, у0) верно неравенство
то точка М0 называется точкой минимума. Теорема. (Необходимые условия экстремума). Если функция f(x,y) в точке (х0, у0) имеет экстремум, то в этой точке либо обе ее частные производные первого порядка равны нулю , либо хотя бы одна из них не существует.
Эту точку (х0, у0) будем называть критической точкой. Теорема. (Достаточные условия экстремума). Пусть в окрестности критической точки (х0, у0) функция f(x, y) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Рассмотрим выражение:
1)Если D(x0, y0) > 0, то в точке (х0, у0) функция f(x, y) имеет экстремум, если - максимум, если - минимум. 2) Если D(x0, y0) < 0, то в точке (х0, у0) функция f(x, y) не имеет экстремума В случае, если D = 0, вывод о наличии экстремума сделать нельзя.
Дата добавления: 2015-04-24; Просмотров: 619; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |