Преобразование Фурье

При анализе различных линейных систем широко используются преобразования Фурье и Лапласа, позволяющие достаточно просто выполнить необходимые вычисления. Основная причина такого упрощения заключается в замене процедуры свертки, используемой при анализе системы во временной области на обычную операцию умножения частотных характеристик и функций, используемых при анализе в частотной области.

Пусть у нас имеется сигнал (неслучайный, который представляет собой функцию времени) f(t), измеряемый в вольтах. Тогда

- преобразование Фурье сигнала f(t) (иногда под преобразованием Фурье понимают сопряженную величину F*(w)), которое имеет размерность [B/(рад/c)] и определяет относительные амплитуды и фазы незатухающих гармонических составляющих. Таким образом, амплитудное соотношение в преобразовании Фурье характеризует плотность распределения амплитуд по частоте, а значит определяет распределение энергии по спектру. Спектром любого колебательного процесса называется функция, описывающая распределение амплитуд гармоник по различным частотам. Спектр показывает, какого рода колебания по частоте преобладают в данном процессе и какова его внутренняя структура.

Для преобразования Фурье разработана теория, суть которой кратко заключается в следующем.

Вводится пространство L² (-¥,¥) – пространство суммируемых в квадрате функций, то есть таких функций, для которых

Если f(t) – сигнал, то это условие означает конечность мощности этого сиг-

нала. Для каждой функции f Î L² (-¥,¥) существует предел в среднем функции

при Т®¥ и этот предел обозначается

причем F(w) Î L² (-¥,¥). Существует и обратное преобразование

Для двух преобразований Фурье

,

выполняет обобщенное равенство Парсеваля:

В частности, получаем обычное равенство Парсеваля

Дата добавления: 2015-05-08