Операции первого порядка (дифференциальные характеристики поля)

Векторное произведение двух векторов.

В противоположность скалярному произведению, здесь первое слово указывает на то, что результат действия есть вектор. Векторное произведение может быть записано в виде определителя третьего порядка

(1.4)

Раскрывая определитель по общим правилам, получим:

(1.5)

В теории поля рассматриваются три так называемые операции первого порядка. Эти операции позволяют, выполнив определенные математические действия превратить

- скалярную величину в векторную;

- векторную величину в скалярную;

- векторную – в другую векторную;

Эти операции соответственно называются: градиент, дивергенция и ротор (вихрь). Рассмотрим каждую из них.

Градиент какой-то скалярной функции есть вектор, образующийся в результате выполнения следующих действий:

(1.6)

Физически градиент есть вектор, в направлении которого функция в данной точке поля изменяется с максимальной скоростью.

Дивергенцией вектора называется выражение вида

(1.7)

Следовательно, любое векторное поле дает некоторое скалярное поле, а именно поле своей дивергенции (расходимости). Если , то поле называют соленоидальным. Для обозначения этих операций широко используется оператор Набла – .

Вихрь поля (ротор) – это вектор, образующийся при выполнении операции

(1.8)

Если , то поле называют безвихревым.

Каждая из трех операций имеет гидродинамическую интерпретацию, которая приводится в соответствующих разделах курса.

Дата добавления: 2015-05-23