Визначник матриці. Обернена матриця

Для квадратних матриць вводиться поняття визначника (або детермінанта) матриці.

Визначником матриці першого порядку будемо називати елемент цієї матриці: .

Визначником матриці другого порядку будемо називати число .Наприклад,

Визначником матриці третього порядку будемо називати число

Наприклад, .

Визначникам матриць притаманні такі властивості:

1) Визначник одиничної матриці дорівнює одиниці

.

2) Якщо який–небудь рядок (стовпчик) матриці складається з одних нулів, то визначник матриці дорівнює нулеві.

.

3) Якщо всі елементи якого-небудь рядка (стовпчика) матриці помножити на деяке число, то і визначник матриці помножиться на це число.

4) Визначник матриці, рядок (стовпчик) якої є сумою двох рядків(стовпчиків) дорівнює сумі відповідних визначників.

5) При транспонуванні матриці її визначник не змінюється.

.

6) При перестановці двох довільних рядків (стовпчиків) матриці її визначник змінює знак на протилежний.

7) Визначник матриці, що містить два однакові рядки (стовпчики), дорівнює нулю.

8) Якщо до одного з рядків (стовпчиків) матриці додати інший, помножений на деяке число, то визначник матриці не зміниться.

Мінором елемента матриці А будемо називати визначник матриці, утвореної викреслюванням у матриці А рядка і стовпчика, де стоїть цей елемент.

Алгебричним доповненням елемента матриці А будемо називати число .

9) Визначник матриці дорівнює сумі добутків елементів будь-якого рядка (стовпчика) матриці на їх алгебричні доповнення.

.

Остання властивість дозволяє обчислювати визначники квадратних матриць будь-якого порядку, зведенням до обчислення визначників на одиницю меншого порядку. Наприклад,

.

Рангом матриці будемо називати найвищий порядок відмінного від нуля мінора цієї матриці. Наприклад, ранг матриці дорівнює 2, бо мінор третього порядку , а мінор другого порядку .

Квадратна матриця називається оберненою до матриці , якщо

.

Матриця називається невиродженою, якщо . Кожна невироджена матриця має обернену. Обернена матриця обчислюється за формулою

.

Тут — алгебричне доповнення елемента матриці .

Приклад 1. Знайти матрицю, обернену до матриці .

Розв’язання: . Знаходимо алгебричні доповнення елементів матриці . Тоді, .

Дата добавления: 2015-05-23