Числові послідовності та їх границі

Вступ до математичного аналізу

Відповідність f між множинами Х та Y, при якій кожному елементу множини Х відповідає єдиний елемент множини Y, називають функцією.

Множину Х при цьому називають областю визначення функції f (пишуть ). Множину називають множиною значень функції f.

Якщо X та Y — числові множини, то функцію називають числовою функцією однієї змінної. Якщо , а , то f назифають числовою функцією п змінних .

Числову функцію натурального аргумента називають числовою послідовністю (позначають ).

Послідовність називають монотонно зростаючою (монотонно спад­ною), якщо ().

Послідовність називають монотонно неспад­ною (монотонно незростаючою), якщо ().

Послідовність називають обмеженою згори, якщо . Послідовність називають обмеженою знизу, якщо . Послідовність називають обмеженою, якщо .

Скінчене число а називають границею числової послідовності коли (пишуть ), якщо . У цьому випадку послідовність називають збіжною послідовністю. В інших випадках послідовність називають розбіжною. Наприклад, послідовність — збіжна, бо , а послідовності та — розбіжні.

Якщо , то послідовність називають нескінченно малою. Послідовність називають нескінченно великою, якщо послідовність нескінченно мала.

Якщо , а , то послідовності і також збіжні, причому і . Якщо крім того і , то збігається послідовність і . Цю властивість використовують для обчислення границь послідовностей. Наприклад,

Якщо послідовність монотонно неспадна і обмежена згори (монотонно не зростаюча і обмежена знизу), то вона збіжна. Наприклад, монотонно зростаюча і обмежена згори послідовність збігається. ЇЇ границю називають числом Ерміта і позначають . Число е ірраціональне, .

Дата добавления: 2015-05-23