Монотонність функції. Екстремуми

Для неперервних на відрізку та диференційовних на інтервалі функцій справджується формула скінчених приростів Лагранжа

,

де — деяка внутрішня точка інтервалу .

Як видно з останньої формули, якщо похідна функції на деякому інтервалі додатна (від’ємна), то функція монотонно зростає (спадає) на цьому інтервалі.

Точка є точкою локального мінімуму (локального максимуму) функції , якщо існує окіл цієї точки, для кожної точки х якого виконується нерівність . Точки локальних мінімумів та локальних максимумів функції називають точками її локальних екстремумів.

Внутрішні точки області визначення функції, в яких похідна функції не існує або існує і дорівнює нулеві, називають критичними точками функції.

Необхідною умовою існування в даній точці локального екстремуму диференційовної функції є рівність нулю її похідної в цій точці. Достатньою умовою існування в даній точці екстремуму функції є зміна знака її похідної при переході через цю точку.

Найбільше та найменше значення неперервної на відрізку функції досягається в її критичних точках або на кінцях відрізка.

Дата добавления: 2015-05-23