Модуль 4

Тема 7. Функції багатьох змінних

Множини на площині і в просторі. Віддаль між точками в n-мірному просторі. Околи точок. Границя послідовності точок. Необхідна і достатня умова збіжності послідовності.

Функції багатьох змінних. Границя функції. Неперервність функції в точці. Неперервність композиції неперервних функцій.

Неперервність функції на множині. Теореми про функції, неперервні на множинах. Рівномірна неперервність. Модуль неперервності.

Частинні похідні і частинні диференціали. Диференційованість функції в точці. Диференціал функції.

Диференціювання складної функції. Інваріантність форми першого диференціала. Основні закони диференціювання.

Геометричний зміст частинних похідних і повного диференціала. Градієнт функції. Похідна за напрямом.

Частинні похідні і диференціали вищих порядків. Формула Тейлора.

Локальні екстремуми функції багатьох змінних. Необхідні умови локального екстремуму. Достатні умови локального екстремуму. Критерій Сильвестра.

Визначення умовного екстремуму. Метод Лагранжа знаходження умовного екстремуму. Найбільше та найменше значення функції в замкнутій області.

Неявні функції. Існування і диференційованість неявно заданої функції. Частинні похідні. Особливі точки поверхні і плоскої кривої.

Неявні функції, задані системою рівнянь. Існування і диференційованість неявних функцій, заданих системою рівнянь. Якобіан функцій. Частинні похідні.

Тема 8. Кратні, криволінійні та поверхневі інтеграли

Означення подвійного інтегралу і умови його існування. Властивості інтегрованих функцій і подвійних інтегралів. Обчислення подвійного інтеграла в декартових координатах.

Обчислення подвійного інтеграла в полярних координатах. Заміна змінних у подвійному інтегралі.

Потрійний інтеграл і умови його існування. Властивості інтегрованих функцій і потрійних інтегралів. Обчислення потрійних інтегралів.

Застосування кратних інтегралів для обчислення площ і об’ємів.

Криволінійні інтеграли першого роду. Визначення, властивості та обчислення.

Криволінійні інтеграли другого роду. Визначення, властивості та обчислення. Зв’язок між криволінійними інтегралами першого і другого роду.

Односторонні та двосторонні поверхні. Орієнтація поверхні. Площа поверхні та її обчислення. Поверхневі інтеграли 1-го роду, їх властивості та обчислення.

Поверхневі інтеграли другого роду. Формула Стокса і її застосування.

Формула Гауса-Остроградського. Застосування формули Гауса-Остроградського для обчислення поверхневих інтегралів.

Завдання для самостійної роботи студентів

Теми для самостійної роботи студентів відповідають темам лекцій та практичних занять. Самостійна робота студентів складається із виконання завдань на засвоєння лекційного матеріалу до кожної теми, а також із виконання домашніх завдань після кожного практичного заняття.

До самостійної роботи студентів відноситься також і виконання контрольних домашніх робіт.

Дата добавления: 2015-05-24