Практикум по логике суждений. Прекрасным примером применения логики суждений для доказательства законов в различных областях науки являются задачи

Прекрасным примером применения логики суждений для доказательства законов в различных областях науки являются задачи, предложенные Сергеем Леонидовичем Катречко[1]. Речь идёт о таких науках как математика, физика, химия, грамматика, богословие и др. Сам С. Л. Катречко традиционно решает эти задачи на основе рассуждений. Однако алгоритмы "Импульс" и "Импульс-С"[2] существенно упрощают выводы.

Алгоритм "Импульс".

Алгоритм анализа (доказательства) законов логики суждений чрезвычайно прост (здесь и далее апостроф означает отрицание):

1. произвести замену всех знаков импликации на символы дизъюнкции в соответствии с известной формулой x —> y = x' + y;
2. привести полученное выражение с помощью закона Де Моргана к дизъюнктивной нормальной форме(ДНФ);
3. занести ДНФ в карту Карно и убедиться, что она вся покрыта единицами - это свидетельствует о истинности проверяемого закона или суждения.

Воспользуемся алгоритмом "Импульс" для доказательства наиболее интересных законов логики суждений.

Закон контрапозиции: если (если р, то q), то [если (не q), то(не р)].

(p —> q) —> (q' —> p') = (p' + q) —> (q + p') = pq' + p' + q = 1.

Законы, характеризующие конъюнкцию.

1. Если (р и q), то (q и р): pq —> qp = (pq)' + pq = 1.
2. Если (р и q),то р: (pq) —> p = (pq)' + p = p' + q' + p = 1.
3. Если р и q, то q: (pq) —> q = (pq)' + q = p' + q' + q = 1.
4. Если р, то [если q, то (p и q)]: p —> (q —> pq) = p' + q' + pq = 1.

Законы импликативных силлогизмов.

1. Если [(если р, то q) и (если р,то r)], то [если р, то(q и r)].

2. [(p —> q)(p —> r)] —> (p —> qr) = [(p' + q)(p' + r)]' + (p' + qr) =3. = (p'+qr)'+p'+qr = 1.

1. Если [(если р, то q) и (если r,то s)],то [если(р и r),то (q и s)].

5. [(p—>q)(r—>s)] —> (pr—>qs) = [(p'+q)(r'+s)]'+p'+r'+qs =6. = pq'+rs'+p'+r'+qs = 1.

1. Если [(если р, то q) и (если q, то r)],то (если р, то r).

[(p—>q)(q—>r)] —> (p—>r) = pq'+qr'+p'+r = 1.

1. Если [(если р, то q) и (если r, то q)],то [если (р или r), то q].

[(p—>q)(r—>q)] —> [(p+r) —>q] = pq'+rq'+p'r'+q = 1.

Законы, характеризующие дизъюнкцию.

1. Если (р или q), то (q или p).

(p+q) —> (q+p) = (p+q)'+(p+q) = 1.

1. Если (р или q), то (если не р, то q).

(p+q) —> (p'—>q) = p'q'+p+q = 1.

Как видит читатель, такие законы можно "изобретать" и доказывать десятками. Во всех выводах применялась аналитическая минимизация логических функций. Однако значительно проще для этой цели использовать карты Карно[3].

В том случае, когда заданы посылки, но нет заключения, нужно применять алгоритм "Импульс-С". Алгоритм вывода заключений по заданным посылкам для так называемых импликативных силлогизмов немногим отличается от предыдущего алгоритма:

Алгоритм "Импульс-С"

1. найти полную единицу системы М, заменив импликацию по формуле x —> y = x' + y;
2. привести полученное выражение к ДНФ[4,5];
3. подставляя в полученное выражение необходимые аргументы и отбрасывая лишние, выводим соответствующие заключения как функции интересующих нас аргументов.

Задача 1

Если равнодействующая всех сил, действующих на движущееся тело, не равна 0, то оно движется неравномерно или непрямолинейно, так как известно, что если эта равнодействующая равна 0, то тело движется равномерно и прямолинейно.

На этом примере покажем важность правильной и полной формулировки задачи.

Решение

Проверим это утверждение. Введём следующие обозначения:

X - равнодействующая всех сил равна 0, Y - движение равномерно,Z - движение прямолинейно.

Тогда по алгоритму "Импульс" получим:

(x —> yz) —> (x' —> (y'+z')) = (x'+yz) —> (x+y'+z') = x(y'+z')+x+y'+z' == x+y'+z' <> (не равно) 1.

Т.е. мы доказали несостоятельность данного утверждения. Однако, это не согласуется с механикой. Дело в том, что в исходных условиях мы не отразили существование второго закона: если тело движется раномерно и прямолинейно, то равнодействующая всех сил, действующих на движущееся тело, равна 0. Отсюда получим следующее доказательство:

(x —> yz)(yz —>x) —> (x' —> (y'+z')) = (x'+yz)((yz)'+x) —> (x+y'+z')== x(yz)'+x'yz+x+y'+z' = 1.

В данном случае результат соответствует законам физики.

Задача 2

Если все посылки истинны и рассуждение правильно, то заключение правильно. В данном рассуждении заключение ложно. Значит, или рассуждение неправильно, или не все посылки истинны.

Решение

X - посылки истинны,Y - рассуждение правильно,Z - заключение верно.(xy —> z)z' —> (y'+x') = (x'+y'+z)z' —> (y'+x') = xy+z+y'+x' = 1.

Задача 3

Если в суффиксе данного полного прилагательного или причастия пишется два н, то они пишутся и в соответствующем наречии. Неверно, что в суффиксе данного наречия пишется два н. Следовательно, в суффиксе полного прилагательного или причастия, из которого образовалось наречие, пишется одно н.

Решение

X - в причастии два н,Y - в полном прилагательном два н,Z - в наречии два н.((x+y) —> z)z' —> x'y' = (x'y'+z)z' —> x'y' = x'y'z' —> x'y' = x+y+z+x'y' = 1.

Мы доказали даже более сильное утверждение.

Задача 4

Бог или бессилен предотвратить зло, или он не желает предотвращать его(зло существует на Земле). Если бог всемогущ, то неверно, что он бессилен предотвратить зло. Если бог всеблаг, то неверно, что он не желает предотвращать зло. Следовательно, неверно, что бог всемогущ и всеблаг.

Решение

X - бог всемогущ,Y - бог всеблаг,U - зло существует,V - бог бессилен против зла,W - бог желает предотвратить зло.u(u —> (v+w'))(x —> v')(y —> w) —> (xy)' = = u(u'+v+w')(x'+v')(y'+w) —> (xy)' = u'+uv'w+xv+yw'+x'+y' = 1.

Таким образом, мы чисто аналитически(математически) доказали, что бог не всемогущ и не всеблаг. В своё время о. Павел Флоренский на основе логики усомнился в священности Библии.

Задача 5

Если каждый раз в полдень солнце находится в зените и сейчас полдень, то сейчас солнце находится в зените.

Решение

X - сейчас полдень,Y - солнце в зените.(x —> y)x —> y = (x'+y)x —> y = xy —> y = x'+y'+y = 1.Однако обратное утверждение неверно:(x —> y)y —> x = (x'+y)y —> x = y —> x <> 1.

Это заключение не согласуется со здравым смыслом. Ошибка вызвана тем, что X и Y связаны отношением эквивалентности, а не следования. Поэтому формальный вывод должен выглядеть так:

(x y)x —> y = (xy+x'y')x —> y = xy —> y = x'+y'+y = 1(x y)y —> x = xy —> x = x'+y'+x = 1

Задача 6

Если нельзя получить воду, то неверно, что имеется в наличии водород и оксид магния. Если имеется углерод, но углекислого газа получить не удалось, то не было в наличии кислорода. Если имеется углекислый газ и вода, то можно получить углекислоту. Можно ли получить углекислоту, если имеется в наличии оксид магния, кислород, водород и углерод.

Решение

X - нет воды,Y - есть водород и оксид магния,Z - есть углерод,U - есть углекислый газ,V - есть кислород,W - есть углекислота.(x —> y')(zu' —> v')(ux' —> w) —> (yvz —> w) = (x'+y')(z'+u+v')(u'+x+w) —> -> (y'+v'+z'+w) = xy+zu'v+ux'w'+y'+v'+z'+w = 1.

Да, можно получить углекислоту.

Задача 7

Он сказал, что придёт, если не будет дождя.(а на его слова можно полагаться). Но идёт дождь. Значит, он не придёт.

Решение X - он придёт, Y - нет дождя. (y —> x)y' —> x' = (y'+x)y' —> x' = y' —> x' = y+x' <> 1.

Т. е. он может придти и в дождливую погоду.

Задача 8

Джонс утверждает, что не встречал этой ночью Смита. Если Джонс не встречал этой ночью Смита, то либо Смит был убийцей, либо Джонс лжёт. Если Смит не был убийцей, то Джонс не встречал его этой ночью, а убийство было совершено после полуночи. Если убийство было совершено после полуночи, то либо Смит был убийцей, либо Джонс лжёт. Следовательно, убийцей был Смит.

Решение

X - Джонс не встречал Смита,Y - Смит - убийца,Z - убийство было совершено после полуночи.(x —> (y+x'))(y' —> xz)(z —> (y+x')) —> y = (x'+y)(y+xz)(z'+y+x') —> y =xy'+y'(x'+z')+xy'z+y = 1.

Т. е. Смит - убийца.

Задача 9

Если элементарная частица имеет античастицу или не относится к числу стабильных, то она имеет массу покоя. Следовательно, если элементарная частица не имеет массы покоя, то она относится к числу стабильных.

Решение

X - наличие античастицы,Y - частица нестабильна,Z - наличие массы покоя.((x+y) —> z) —> (z' —> y') = (x'y'+z) —> (z+y') = (x+y)z'+z+y' = xz'+yz'+z+y' = 1.

Задача 10

Прямые a и b или параллельны, или пересекаются, или скрещиваются. Если прямые a и b лежат в одной плоскости, то они не скрещиваются. Прямые a и b лежат в одной плоскости и не пересекаются. Следовательно, прямые a и b параллельны.

Решение

X - прямые параллельны,Y - прямые пересекаются,Z - прямые скрещиваются,U - прямые лежат в одной плоскости.(xy'z'+x'yz'+x'y'z)(u —> z')uy' —> x = (xy'z'+x'yz'+x'y'z)(u'+z')uy' —> x =(xy'z'+x'yz'+x'y'z)'+uz+u'+y+x = 1.

Задача 11

Если философ - дуалист, то он не материалист. Если он не материалист, то он диалектик или метафизик. Он не метафизик. Следовательно, он диалектик или дуалист.

Решение

X - дуалист,Y - материалист,Z - диалектик,U - метафизик.(x —> y')(y' —> (z+u))u' —> (z+x) = (x'+y')(y+z+u)u' —> (x+z) = xy+u'y'z'+u+x+z <> 1.

Следовательно, заключение неверно. А каков же правильный ответ? По алгоритму "Импульс - С" получим следующие результаты.

M = (x —> y')(y' —> (z+u))u' = (x'+y')(y+z+u)u'.M' = xy+u'y'z'+u.

Из карты Карно получим M = u'y'z+u'x'y. Откуда выводятся правильные заключения: f1(x,z) = x'+z; f2(y,z) = y+z.

Задача 12

Перед последним туром футбольного чемпионата сложилась турнирная ситуация, позволяющая утверждать следующее. Если "Динамо" проиграет свой последний матч, то в случае выигрыша "Спартака" он станет чемпионом. Если же "Спартак" выиграет матч и станет чемпионом, то "Торпедо" займёт второе место. В последнем туре первыми стали известны результаты встреч с участием "Динамо" и "Спартака": "Динамо" проиграло, а "Спартак" выиграл. Можно ли в этом случае, не дожидаясь результатов других встреч, утверждать, что "Спартак" стал чемпионом, а "Торпедо" заняло второе место?

Решение

A - выиграет "Динамо",B - выиграет "Спартак",C - "Спартак" - чемпион,D - "Торпедо" на втором месте.(a'b —> c)(bc —> d)a'b —> cd = (a+b'+c)(b'+c'+d)a'b +cd = 1

Задача 13

Докажите следующую теорему: если прямая l, принадлежащая плоскости P, не перпендикулярна прямой n, то она не перпендикулярна проекции m прямой n на плоскость P, если верна следующая теорема: если прямая l принадлежит плоскости P и перпендикулярна проекции m прямой n на плоскость P, то прямая l перпендикулярна прямой n.

Решение

X - l перпендикулярна m,Y - l перпендикулярна n.(x —> y) —> (y' —> x') = (x'+y) —> (y+x') = 1.

Как видите, можно доказывать теоремы, не владея стереометрией.

Задача 14

Известно, что, если данный многоугольник правильный, то в него можно вписать окружность.

1. Данный многоугольник правильный, следовательно, в него можно вписать окружность.
2. В данный многоугольник нельзя вписать окружность, следовательно, он неправильный.
3. В данный многоугольник можно вписать окружность, следовательно, он правильный.

Проверить эти утверждения.

Решение

X - многоугольник правильный,Y - в многоугольник можно вписать окружность.1. (x —> y)x —> y = (x'+y)x —> y = xy —> y x'+y'+y = 1.2. (x —> y)y' —> x' = (x'+y)y' —> x' = x'y'+x' x+y+x' = 1.3. (x —> y)y —> x = (x'+y)y —> x = y —> x y'+x <> 1.

Действительно, в некоторые трапеции можно вписать окружность, но от этого они не станут правильными многоугольниками.

Задача 15

Если число делится на 4, то оно чётное. Число - чётное. Значит,оно делится на 4.

Решение

X - число делится на 4,Y - число чётное.(x —> y)y —> x = (x'+y)y —> x = y —> x = y'+x <> 1.

Задача 16

Если целое число больше 1, то оно простое или составное. Если целое число больше 2 и чётное, то оно не является простым. Следовательно, если если целое число больше 2 и чётное, то оно составное(здесь присутствует скрытая посылка).

Решение

x - число больше 1y - число простоеz - число составноеu - число больше 2 и чётное.

Скрытая посылка зыключена в том, что число может быть или простым, или составным, третьего не дано, т.е. y' = z.

(x —> (y+z))(u —> y')(y'=z) —> (u —> z) = (x'+y+z)(u'+y')(y'=z) —> (u'+z) =xy'z'+uy+yz+y'z'+u'+z = 1

Задача 17

Если бы он не пошёл в кино, то он не получил бы двойки. Если бы он подготовил домашнее задание, то не пошёл бы в кино. Он получил двойку. Значит, он не подготовил домашнее задание.

Решение

x - пошёл в киноy - получил двойкуz - подготовил домашнее задание.(x' —> y')(z —> x')y —> z' = (x+y')(z'+x')y —> z' = x'y+xz+y'+z' = 1.

Задача 18

Я люблю Бетти или я люблю Джейн. Если я люблю Бетти, то я люблю Джейн. Следовательно, я люблю Джейн.

Решение

х - люблю Беттиу - люблю Джейн(x+y)(x —> y) —> y = (x+y)(x'+y) —> y = y —> y = y'+y = 1.

Задача 19

Если аргументы некоторого рассуждения истинны, а его тезис не является таковым, то рассуждение не является правильным. Данное рассуждение правильно и его аргументы истинны. Следовательно, его тезис является истинным.

Решение

X - аргументы верныY - тезис веренZ - рассуждение верно.(xy' —> z')xz —> y = (x'+y+z')xz —> y = xyz —> y = x'+y'+z'+y = 1.

Задача 20

Докажите, что если натуральное число оканчивается на 0 и сумма цифр кратна 3, то само это число кратно 15. Используйте при этом следующие посылки: если число оканчивается на 0, то оно кратно 5; если сумма цифр числа кратна 3, то число кратно 3; если число кратно 3 и кратно 5, то оно кратно 15.

Решение

X - число кратно 5Y - число кратно 3Z - число кратно 15U - число оканчивается на 0V - сумма цифр числа кратна 3.(u —> x)(v —> y)((xy —> z) —> (uv —> z) = (u'+x)(v'+y)(x'+y'+z) —> (u'+v'+z) =ux'+vy'+xyz'+u'+v'+z = 1.

Задача 21

Если студент знает логику, то он сможет проверить выводимость формулы из посылки. Если студент не знает логику, но он прослушал курс "Логика" и освоил математический анализ в логике суждений, то он также сможет установить выводимость формулы. Значит, если студент или знает логику, или прослушал курс "Логика" и освоил матанализ в логике суждений, то он может проверить выводимость формулы из посылок.

Решение

X - знает логикуY - сможет проверить выводимость формулы из посылкиZ - прослушал курс логики и освоил матанализ в логике суждений.(x —> y)(x'z —> y) —> ((x+x'z) —> y) = (x'+y)(x+z'+y) —> (x'z'+y) = xy'+x'zy'+x'z'+y = 1.

Задача 22

Если каждое действительное число есть алгебраическое число, то множество действительных чисел счётно. Множество действительных чисел несчётно. Следовательно, не каждое действительное число есть алгебраическое число.

Решение

X - действительное числоY - алгебраическое числоZ - счётное множество чисел.((x —> y) —> (x —> z))(x —> z)' —> (x —> y)' = ((x'+y) —> (x'+z))(x'+z)' —> (x'+y)' = (xy'+x'+z)(x'+z)' —> xy' = (x'+y)xz'+x'+z +xy' = xyz'+x'+z+xy' = 1.

Задача 23

Курс акций падает, если процентные ставки растут. Большинство владельцев акций разоряется, если курс акций падает. Следовательно, если процентные ставки растут, то большинство владельцев акций разоряется.

Решение

X - курс акций падаетY - процентные ставки растутZ - акционеры разоряются.(y —> x)(x —> z) —> (y —> z) = (y'+x)(x'+z) —> (y'+z) = x'y+xz'+y'+z = 1

Задача 24

Если капиталовложения останутся постоянными, то возрастут правительственные расходы или возникнет безработица. Если правительственные расходы не возрастут, то налоги будут снижены. Если налоги будут снижены и капиталовложения останутся постоянными, то безработица не возрастёт. Следовательно, правительственные расходы не возрастут.

Решение

X - капиталовложения постоянныY - правительственные расходы растутZ - растёт безработицаU - снижаются налоги.(x —> (y+z))(y' —> u)(ux —> z') —> y' = (x'+y+z)(y+u)(u'+x'+z') —> y' =xy'z'+y'u'+xzu+y' <> 1.

Следовательно, заключение неверно.

Задача 25

Проверьте правильность рассуждения средствами логики суждений: "Если человек осуждён судом, то он лишается избирательных прав. Если человек признан невменяемым, то он также лишается избирательных прав. Следовательно, если человек обладает избирательным правом, то он здоров и не был осуждён судом".

Решение

X - осуждён судомY - лишён избирательных правZ - невменяем.(x —> y)(z —> y) —> (y' —> x'z') = (x'+y)(z'+y) —> (y+x'z') = xy'+zy'+y+x'z' = 1.

Задача 26

Если Джон - автор этого слуха, то он глуп или беспринципен. Следовательно, если Джон не глуп или не лишён принципов, то он не является автором этого слуха.

Решение

X - Джон - автор слухаY - Джон глупZ - Джон беспринципен.(x —> (y+z)) —> ((y'+z') —> x') = (x'+y+z) —> (yz+x') = xy'z'+yz+x' <> 1.

Задача 27

Если бог существует, то он всемогущ и всеблаг. Бог или бессилен предотвратить зло, или он не желает предотвращать его (зло существует на Земле). Если бог всемогущ, то неверно, что он бессилен предотвратить зло. Если бог всеблаг, то неверно, что он не желает предотвращать зло. Следовательно, неверно, что бог существует.

Решение

X - бог всемогущ,Y - бог всеблаг,Z - бог существует,U - зло существует,V - бог бессилен против зла,W - бог желает предотвратить зло.(z —> xy)u(u —> (v+w'))(x —> v')(y —> w) —> z' = = (z'+xy)u(u'+v+w')(x'+v')(y'+w) —> z' = = z(x'+y')+u'+uv'w+xv+yw'+z' = 1.

Мы строго математически доказали, что вера в бога ошибочна. Это верно при условии, что все наши посылки корректны.

Надеюсь, что такая логика понравится даже тем учащимся, которые не любят математику, грамматику, физику, химию и другие науки, поскольку логика легко и просто решает задачи всех научных дисциплин.

Литература

1. С. Л. Катречко. Введение в логику. Программа курса. - М.:УРАО, 1997.
2. Лобанов В.И. Базовые проблемы классической логики.//Современная логика:Проблемы теории,истории и применения в науке(Материалы VI Общероссийской научной конференции), СПбГУ, 2000 - с.499 - 504.
3. Лобанов В.И. Синтез и минимизация комбинационных схем//Информатика и образование,N5,2000, стр. 60 - 63.
4. Лобанов В.И. Инженерные методы разработки цифровых устройств.- М:1977(шифр Центр.Политехн.Библиотеки _ W145 4/231).
5. Лихтарников Л. М. Первое знакомство с математической логикой. - СПб.: Лань,1997.

Дата добавления: 2015-05-08