Обратная матрица

Обратная матрица существует только тогда,когда еее определитель не равен нулю. Матрица называется обратной матрицей для квадратной матрицы , если . Из определения следует, что обратная матрица будет квадратной матрицей того же порядка, что и матрица (иначе одно из произведений или было бы не определено). Обратная матрица для матрицы обозначается . Таким образом, если существует, то . Из определения обратной матрицы следует, что матрица является обратной для матрицы , то есть . Про матрицы и можно говорить, что они обратны друг другу или взаимно обратны. Предложение 14. 20 Если матрица имеет обратную, то и . Доказательство. Так как определитель произведения матриц равен произведению определителей,то . По следствию , поэтому, что невозможно при . Из предыдущего равенства следует также . Последнее предложение можно сформулировать в следующем виде. Если определитель матрицы равен нулю, то обратная к ней не существует. Так как для нахождения обратной матрицы важно, равен ли определитель марицы нулю или нет, то введем следующие определения. Определение 14. 9 Квадратную матрицу назовем вырожденной или особенной матрицей, если , и невырожденной или неособенной матрицей, если . Предложение 14. 21 Если обратная матрица существует, то она единственна. Доказательство. Пусть две матрицы и являются обратными для матрицы . Тогда и Следовательно, . Предложение 14. 22 Если квадратная матрица является невырожденной, то обратная для нее существует и где -- алгебраические дополнения к элементам . Доказательство. Так как для невырожденной матрицы правая часть равенства (14.14) всегда существует, то достаточно показать, что эта правая часть является обратной матрицей для матрицы . Обозначим правую часть равенства (14.14) буквой . Тогда нужно проверить, что и что . Докажем первое из этих равенств, второе доказывается аналогично. Пусть . Найдем элементы матрицы , учитывая, что : Если , то по предложению 14.17 сумма справа равна нулю, то есть при . Если , то Сумма справа представляет собой разложение определителя матрицы по -ой строке (предложение 14.16). Таким образом, Итак, в матрице диагональные элементы равны 1, а остальные равны нулю, то есть . Результаты предложений 14.20, 14.21, 14.22 соберем в одну теорему. Замечание.Следует обратить особое внимание на места, занимаемые алгебраическими дополнениями в формуле обратной матрицы: первый индекс показывает номер столбца, а второй -- номер строки, в которые нужно записать вычисленное алгебраическое дополнение.

5. Метод Крамера

Дата добавления: 2015-05-08