Учет временной стоимости денег для стратегии планирования дефицита без его покрытия при поставках

Для учета временной структуры процентных ставок применительно к указанной модели управления запасами далее функционирование такой системы будет представлено соответствующими уходящими и приходящими денежными потоками. При этом, напомним, что требуется учитывать специфику контрактных условий выплаты издержек хранения, а также и штрафных потерь из-за планируемого дефицита, не покрываемого при поставках. Как мы уже знаем, моменты выплаты издержек хранения (например, по схеме «пренумерандо», «постнумерандо» и т.п.) мало влияют на параметры оптимальной стратегии управления запасами. Поэтому, как и в главе 9, далее рассмотрим только модификацию модели, при которой выплаты издержек хранения реализуются по схеме «пренумерандо». При этом, учитывая результаты проведенного в главе 6 анализа для такой стратегии планирования дефицита, нас будет интересовать именно случай, более близкий к практическим ситуация, когда анализируется соответствующая стратегия управления запасами применительно к группе рентабельных товаров.

Критерием оптимизации, как и в предыдущих главах, является максимизация суммарного чистого приведенного дохода на основе соответствующей максимизации интенсивности суммарного потока доходов применительно к анализируемой стратегии управления запасами.

Соответствующие особенности, обусловливаемые спецификой учета временной стоимости денег и выбранным критерием оптимизации, иллюстрируются для интересующего нас случая условным примером.

ОСОБЕННОСТИ МОДЕЛИ И ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

Рассматриваем классическую многопродуктовую модель управления запасами с постоянным спросом и учетом временной стоимости денег при стратегии планирования дефицита без его покрытия при поставках. Основные атрибуты модели и обозначения – следующие:

· N – количество анализируемых видов товаров, называемых далее i -товарами (i = 1¸ N);

· D_i – объем годового потребления соответствующего товара;

· C₀ – накладные расходы на поставку одной партии заказа;

· С_Пi – стоимость единицы товара;

· Р_Пi – прибыль от реализации единицы товара;

· С_0Пi – издержки доставки единицы товара, не включающие накладные расходы на поставку соответствующей партии;

· С_hi – годовые издержки хранения единицы товара;

· q_i – размер партии заказа (оптимизируемая величина в рамках рассматриваемой модели);

· Т₀ – общий период поставки (в годах), связанный с показателями q_i равенствами Т₀ = q_i /D_i (также оптимизируемые величины);

· r – годовая ставка наращения, действующая на рынке;

· учет временной стоимости денег (издержек/доходов) реализуется применительно к схеме простых процентов.

Дополнительно, учитывая специфику стратегии планирования дефицита без его покрытия при поставках, обозначим:

· S_i – максимально допустимый дефицит для i- товара (параметр, подлежащий оптимизации);

· С_gi – издержки из-за дефицита на единицу i- товара за год (этот показатель позволяет учитывать именно такие потери из-за дефицита i- товара, которые зависят именно от длительности промежутка времени до покрытия соответствующего дефицита); далее рассматриваем невырожденный случай анализа, когда С_gi > 0;

· t_1i и t_2i – длительности промежутков времени наличия запасов и дефицита соответственно на периоде поставок T₀ для i- товара;

· γ_i = t_2i/T₀ – доля времени наличия дефицита (оптимизируемая величина в рамках модели) для i- товара;

· (1 – γ_i) – доля времени наличия запасов (также оптимизируемая величина) для i- товара.

Для имеющих место денежных потоков в рамках рассматриваемой модели планирования дефицита отметим следующее. Уходящие платежи, обусловливаемые издержками доставки товара и оплатой его стоимости, соотносим с начальным моментом соответствующего интервала повторного заказа (при общих поставках). Приходящие платежи по товарам на периодах времени отсутствия дефицита соотносим, в среднем, с серединами таких периодов наличия запасов для i -товаров. Уходящие платежи, обусловливаемые штрафными санкциями из-за дефицита, соотносим с моментом окончания соответствующего интервала повторного заказа (при общих поставках). Уходящие платежи, обусловливаемые выплатой издержек хранения, соотносим с моментом начала такого интервала повторного заказа (выплаты издержек хранения «пренумерандо»).

Пусть снова знак S обозначает соответствующее суммирование по всему анализируемому количеству видов или номенклатуры i -товаров, т.е. - суммирование по i от 1 до N. Тогда величины денежных потоков в рамках такой модели определяются следующим образом.

q Величина уходящих платежей (УП_нач) на одном интервале повторного заказа, соотносимых с началом каждого такого интервала, -

УП_нач = C₀ + Σ q_i × (C_0Пi + C_Пi) +Σ q_i ∙ C_hi × t_1i /2.

Здесь каждое слагаемое учитывает соответствующие выплаты, отмеченные ранее (см., например, главу 9). Отличие с аналогичной формулой главы 9 состоит в том, что в третьем слагаемом здесь присутствует показатель q_i вместо показателя (q_i –S_i) применительно к соответствующему выражению главы 9. Это объясняется тем, что для данной модели при поставках дефицит не покрывается.

q Величины приходящих платежей по i-товарам (ПП_i-тов), которые соотносим, в среднем, с серединой каждого соответствующего периода времени работы с i- товаром на промежутках отсутствия дефицита, -

ПП_i-тов = (C_Пi + Р_Пi) ∙ q_i.

Подчеркнем, что возможность соотносить всю указанную денежную сумму (ПП_i-тов) с серединой интервала времени наличия i- товара, обусловлена тем, что такие поступления для модели с постоянным спросом будут равномерно распределены на указанном интервале времени, а также тем, что в рамках рассматриваемой модели для учета временной стоимости денег принята схема простых процентов.

q Величина уходящих платежей (УП_деф), обусловливаемых штрафными издержками планируемого дефицита на интервале повторного заказа, которые соотносятся по времени с концом такого интервала, -

УП_деф = Σ C_gi∙S_i∙ t_2i /2.

Здесь каждое отдельное слагаемое вида C_gi∙ t_2i∙S_i /2 характеризует суммарные потери из-за дефицита i -товара, обусловливаемые штрафами за каждую единицу времени дефицита для каждой единицы дефицитного i -товара. Действительно, величина S_i/2 представляет количество единиц дефицитного товара, в среднем, на промежутке времени отсутствия запасов (применительно к одному интервалу повторного заказа), причем множитель C_gi × t_2i = C_gi × T×g_i учитывает издержки дефицита на одну единицу дефицитного товара применительно к указанному промежутку времени длительности t_2i. Еще раз подчеркнем, что вся указанная денежная сумма (УП_деф) соотносится с моментом уже очередной поставки товара, т.е. с моментом начала следующего интервала повторного заказа.

ОПТИМАЛЬНЫЕ ПАРАМЕТРЫ СТРАТЕГИИ

(ПОСТАВКИ РЕНТАБЕЛЬНЫХ ТОВАРОВ)

Для формализации соответствующей задачи оптимизации, рассматриваемой в этой главе стратегии планирования дефицита (без его покрытия при поставках) с учетом временной стоимости денег, ведем показатель интенсивности суммарного денежного потока в рамках такой системы управления запасами. Этот показатель, как и в предыдущей главе, определим применительно к одному так называемому периоду регенерации. А именно, назовем периодом регенерации, как и для модификации модели главы 9, период времени, для которого:

1) его длительность совпадает с длительностью выбираемого периода общей поставки Т= T₀;

2) при этом его середина совпадает с началом периода поставки (см. рис. 10.2, который для упрощения представлен применительно к ситуации N=2).

Тогда интересующие нас денежные потоки применительно к одному периоду регенерации можно представить рис. 10.3. Приведем все указанные выше денежные потоки на одном таком периода регенерации к общему моменту времени: к середине периода регенерации. Суммарный полученный результат (с учетом знаков для соответствующих приходящих и уходящих денежных потоков, а также с учетом принципов и правил финансового анализа и финансовой математики) представляет доход н одном периоде регенерации. После домножения его на 1/Т получаем показатель, который называем интенсивностью потока доходов. Разумеется, в наших обозначениях его размерность соответствует показателю ден. ед./год.

Используемый подход к максимизации интенсивности потока доходов с привлечением понятия периода регенерации, напомним, подразумевает, что с товарами анализируемой группы работают на достаточно длительном промежутке времени, чтобы оптимизировать работу системы управления запасами применительно к так называемому «стационарному режиму», пренебрегая соответствующими начальными условиями (в данном случае, это - начальной половиной первого интервала повторного заказа). Если вводить понятие интенсивности суммарного потока доходов непосредственно применительно к интервалу повторного заказа, как это было сделано, например, применительно к модификации модели в главе 7, то для данной модели получим (в задаче оптимизации) уравнение значительно более высокой степени относительно оптимизируемого интервала повторного заказа. Это, в свою очередь, не позволит получить приемлемые для практики формулы нахождения параметров оптимальной стратегии. Поэтому в рамках рассматриваемой модели снова введено понятие периода регенерации.

Таким образом, задача максимизации интенсивности суммарного денежного потока доходов (а следовательно, и максимизация чистого приведенного дохода на периоде регенерации) в рамках рассматриваемой модификации модели системы управления запасами с учетом временной стоимости денег и планируемого дефицита, не покрываемого при поставках, теперь может быть представлена в виде

F ® max,

где

F = 1/T × [Σ q_i × (C_Пi + P_Пi) ∙(1 – d × t_1i /2) – C₀ –

– Σ(C_0Пi+C_Пi) × q_i – Σ C_gi × S_i ×γ_i× Т /2 – Σ C_hi × q_i × t_1i /2)].

Эта функция определена в области , Т > 0, 0 ≤ q_i ≤ D_i, 0 ≤ S_i ≤ D_i, причем q_i, S_{i ,} t_1i и T связаны равенствами q_i = (1-g_i)×T×D_i, S_i = g_i×T×D_i и t_1i = (1-g_i)×Т. Нас интересует оптимальное значение интервала повторного заказа и соответствующие остальные параметры анализируемой здесь стратегии управления запасами, максимизирующие показатель F для суммарной интенсивности потока доходов.

Подчеркнем, что в приведенном выше выражении для F уже учтены необходимые процедуры приведения стоимостей имеющих место денежных потоков к середине периода регенерации.

НАХОЖДЕНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ СТРАТЕГИИ

Используя приведенные выше равенства (исключая q_i и S_i), представим выражение для суммарной интенсивности (F) потока доходов в виде

F =∑ (1-g_i)×D_i × (Р_Пi – С_0Пi) – С₀ × – ∑ ∙Т× (1 –γ_i)² –

–∑ ×Т∙γ_i² – ∑(C_Пi + P_Пi) ×D_i ∙Т× (1 – γ_i)² × .

(*)

Домножая последнее выражение на –2 переходим к следующей эквивалентной задаче минимизации

f ® min,

где функция f определяется равенством

f = 2 C₀ / Т + Т ×∑(1 – γ_i)² ∙ D_i × [ C_hi + d(C_Пi+Р_Пi) ] +

+ Т ×∑ γ_i² ∙ D_i × С_gi – 2∑ (1-g_i)× D_i × (Р_Пi – С_ОПi).

Для нахождения оптимальных параметров стратегии управления запасами в интересующем нас невырожденном случае (C_hi>0 и С_gi >0), причем для группы рентабельных товаров, выпишем соответствующие условия первого порядка. Эти условия (∂ f/ ∂ Т = 0 и∂ f/ ∂ g_i = 0 соответственно, где i =1,2,…,N) имеют вид:

S D_i ×(1 – γ_i)² ∙[ C_hi + d(C_Пi+Р_Пi) ] + S D_i × γ_i ²∙ С_gi – 2С₀/T² = 0,

T ∙ γ_i ∙ С_gi∙ – T ∙ (1 – γ_i) ∙[ С_hi + d(C_Пi + Р_Пi) ] – (Р_Пi – C_ОПi) = 0, i=1,2,…,N.

Из первого уравнения (условия первого порядка) для интервала повторного заказа находим следующее выражение, вполне аналогичное найденному в главе 9 применительно к стратегии планирования дефицита с его покрытием при очередной поставке, –

.

Остальные равенства (условия первого порядка) перепишем в виде

(Р_Пi – C_ОПi)/ Т = [ С_hi + d(C_Пi + Р_Пi) ] – γ _i ×[ С_gi + С_hi + d(C_Пi + Р_Пi) ]

Каждое из этих равенств (при i = 1, 2, …, N) вполне аналогично равенству (***) главы 6 для одно-номенклатурной модели планирования дефицита без его покрытия при поставках (с учетом временной стоимости денег). Поэтому можно воспользоваться уже известными результатами соответствующего анализа, представленного в указанной главе.

В частности для ситуации, когда анализируется группа товара с «нулевыми рентабельностями» (соответственно, когда (Р_Пi – C_ОПi)= 0, i = 1, 2, …, N), как и в главе 6, получаем

, i = 1,2,…, N.

Соответственно для интервала повторного заказа при общих поставках такой группы товаров имеем:

Т^* = .

Кстати, обратите внимание на то, что при d = 0 (r = 0) и при N = 1 получаем традиционный результат соответствующей одно-номенклатурной модели без учета временной стоимости денег.

Для ситуаций, которые будут более близки к реальным на практике, когда анализируется группа рентабельных товаров, как уже было отмечено главе 6 (применительно к одно-номенклатурной такой модели управления запасами), соответствующая система уравнений для условий первого порядка будет несовместной. Следовательно, наилучшее решение в такой ситуации окажется на границе области ограничений.

Другими словами, для каждого i -товара либо γ _i = 0, либо γ _i = 1. Для рассматриваемого здесь случая (поставки рентабельных товаров), из экономических соображений понятно, что для группы товаров, каждый из которых является рентабельным, планирование дефицита по любому из них приведет к снижению суммарной интенсивности потока доходов. Таким образом, для такой ситуации оптимальная стратегия выбирает граничный случай γ _i = 0, i = 1, 2, …,N. При этом оптимальная длительность интервала повторного заказа находится по формуле:

,

где, напомним,

- вектор годового потребления i -товаров;

- вектор издержек хранения для i -товаров;

- вектор стоимостей i -товаров;

- вектор прибылей для i -товаров.

Другими словами, в указанной ситуации (поставки рентабельных товаров) дефицит не планируется.

Для иллюстрации полученных в этой главе результатов применительно к случаю учета временной стоимости денег рассмотрим такую же условную ситуации, как и в предыдущем примере.

ПРИМЕР 10.2. Пусть в условиях примера 10.1 (см. также пример 9.2) оптимизация стратегии планирования дефицита реализуется с учетом временной стоимости денег. Соответствующие атрибуты модели оставим аналогичными:

¨ Р_Пi / С_{П i} = 0,5 (для всех i -товаров); поэтому

Р_П1 =1,5; Р_П2 =1; Р_П3 =3;

¨ C_gi = 0,5∙C_Пi (для всех i -товаров); поэтому

C_g1 =1,5; C_g2 =1; C_g3 =3;

¨ C_ОПi = 0 (эти издержки считаем включенными в стоимости i -товаров); С₀= 40;

¨ r = 0,2 поэтому d = 0,1(6).

Найдем параметры оптимальной стратегии в рамках интересующей нас модели с учетом временной стоимости денег.

РЕШЕНИЕ. Очевидно, что для анализируемой группы товаров с общей поставкой можно отметить следующее. Все товары являются рентабельными (см. формализацию соответствующего понятия применительно к каждому отдельному виду товара в главе 6). Поэтом в такой ситуации имеем

; ; .

(другими словами, по всем i -товарам дефицит не планируется).

Соответственно, поскольку

24 000 (см пример 7.2);

122 000 (см пример 7.2);

61 000 (т.к. Р_Пi = 0,5∙ С_Пi),

для интервала повторного заказа находим значение

(= 14 дней).

Сравнивая это значение с аналогичным результатом примера 7.2 видим, что для оптимального интервала повторного заказа получен соответственно эквивалентный результат (Т^*=14 дней). Поэтому остальные параметры оптимальной стратегии в данном случае будут соответствовать найденному в главе 7 решению, не предполагающему планирование дефицита без его покрытия при поставках, т.к. оптимальное решение для такой стратегии планирования дефицита дает граничный случай γ_i = 0, i = 1, 2, 3.

При этом, сопоставляя полученные в этом примере результаты с аналогичными для соответствующей модели без учета временной стоимости денег, которые представлены в примере 10.1, видим, что рекомендации, не учитывающие ни временную структуру процентных ставок, ни показатели рентабельности товаров, завысили значение интервала повторного заказа при общих поставках на 78% (25 дней вместо 14 дней). Кроме того, вместо обеспечения 100%-ных объемов поставок товаров от его потребления на интервале повторного заказа (т.е. применительно к реализации поставок товаров без планирования дефицита, не покрываемого при поставках в рамках найденной оптимальной стратегии в примере 10.2), такие рекомендации предлагают в качестве оптимального решения следующее: обеспечение лишь 57% таких объемов. А именно, соответствующие рекомендации примера 10.1 предлагают принять в качестве оптимального баланс длительностей промежутков дефицита и наличия товаров, характеризуемый отношением γ_i /(1- γ_i), как баланс 3:4 или 43%: 57% по всем типам товаров. Разумеется, это приведет к очень значительному снижению суммарной интенсивности потока доходов для анализируемых рентабельных товаров.

Действительно, интенсивность суммарного потока доходов для модели примера 10.2 с учетом временной стоимости денег составит 59,018 тыс. у.е. (см. решение примера 7.2 в главе 7, поскольку найденные в примере 10.2 параметры стратегии управления запасами соответствуют стратегии примера 7.2). В то же время, если руководствоваться найденной в примере 10.1 оптимальной стратегией без учета временной стоимости денег, то в условиях рынка интенсивность суммарного потока доходов по формуле (*) составит

F = (1– )∙(12 000∙1,5+25 000∙1+6 000∙3) –

(1 )²∙(12 000∙0,6 + 25 000∙0,4 + 6 000∙1,2) –

()²∙(12 000∙1,5 + 25 000∙1 + 6 000∙3) –

(1 )²∙0,1(6)∙12 000∙4,5 + 25 000∙3 + 6 000∙9) =

=33,280 тыс. у.е.

Как видим, разница в интенсивности потока доходов для модели примера 10.2 (с учетом временной стоимости денег) и для модели примера 10.1 (без учета временной стоимости денег) составляет 25,738 тыс. у.е. (= 59,018 – 33,280). Такое очень значительное различие в интенсивности доходов, естественно, как и в аналогичном случае применительно к одно-номенклатурной модели главы 6, обусловлено, прежде всего, именно рекомендациями найденной стратегии для модели примера 10.1 относительно принятия планирования дефицита (43% от объемов потребления на интервале повторного заказа) для анализируемых весьма рентабельных товаров, чтобы снизить суммарные издержки.

Другими словами, минимизация издержек применительно к таким системам управления запасами не всегда будет отвечать желаниям менеджера или лица, принимающего решения, т.к. при этом можно потерять значительную часть чистого приведенного дохода. Предложенный в данной главе подход к оптимизации таких систем управления запасами позволяет обратить внимание менеджеров на указанную особенность.

Еще раз подчеркнем, что реализуемый данной книге подход к оптимизации стратегий управления запасами как раз и направлен на максимизацию чистого приведенного дохода в рамках соответствующих логистических операций для систем управления запасами.

Результаты представленного здесь исследования соответственно позволяют сделать следующие выводы.

ВЫВОДЫ. В главе показано, что традиционные рекомендации (без учета временной структуры процентных ставок и, в частности, без учета показателей рентабельности для анализируемой группы товаров) могут давать не адекватные для менеджера решения применительно к многономенклатурным стратегиям планирования дефицита, не покрываемого при поставках, поскольку при классическом подходе критерием оптимизации является минимизация издержек в таких системах управления запасами, причем постановки задач оптимизции не учитывают показателей прибыли или показателей рентабельности для анализируемой группы товаров. Предложенный в этой главе подход к оптимизации таких многономенклатурных моделей планирования дефицита позволяет наряду с учетом временной стоимости денег учитывать также и показатели рентабельности товаров, причем критерием оптимизации выступает максимизация чистого приведенного дохода на основе максимизации показателя интенсивности суммарного потока доходов. Суммарный резерв повышения эффективности систем управления запасами за счет учета указанных особенностей при использовании стратегий планирования дефицита, не покрываемого при поставках товаров, может оказаться очень существенным.

КОММЕНТАРИИ (к работе с материалами главы 10)

10.1 Постарайтесь привести примеры возможных в рамках интересующего вас бизнеса ситуаций из области логистики, когда при управлении запасами используют особенность, обусловливаемую возможностью планирования дефицита без его покрытия при многономенклатурных поставках.

10.2. Моделируя интересующую вас систему управления запасами обратите внимание на формализацию задачи минимизации общих годовых потерь (без учета временной стоимости денег) для многономенклатурных моделей управления запасами с постоянным спросом и с учетом планирования дефицита, когда предполагается, что соответствующий дефицит не будет покрыт при поставках, т.е. принимается, что он будет покрыт «извне». Всегда ли соответствующий критерий (минимизация суммарных издержек) будет приемлем для менеджера или лица, принимающего решения?

10.3. Отметьте, какие особенности соответствующих задач минимизации общих годовых потерь (без учета временной стоимости денег) для таких многономенклатурных моделей управления запасами (модели планирования дефицита, не покрываемого при поставках), обусловливаемые соотношением или балансом между длительностями промежутков наличия запасов и промежутков планируемого дефицита, необходимо учитывать при нахождении оптимальной стратегии управления в невырожденном случае анализа, когда издержки дефицита обязательно учитываются.

10.4. Для удобств моделирования различных возможных в бизнесе ситуаций, продумайте и отметьте, какие параметры рассмотренной в этой главе модели управления запасами (без учета временной стоимости денег) влияют на соотношение или баланс между длительностями промежутков наличия запасов и его дефицита при оптимальном использовании стратегий планирования дефицита, не покрываемого при поставках, в невырожденном случае анализа, когда издержки дефицита обязательно учитываются.

10.5. Моделируя возможные ситуации для бизнеса, отметьте или подчеркните, какие именно изменения для оптимальной величины показателя максимально допустимого дефицита (без учета временной стоимости денег) будут обусловлены соответственно в многономенклатурных моделях планирования дефицита (без его покрытия при поставках), если потребуется предусмотреть запланированное увеличение/снижение издержек хранения С_hi для соответствующего i- товара (при неизменных остальных параметрах рассмотренной в этой главе модели).

10.6. Моделируя возможные ситуации для бизнеса, проведите анализ и отметьте, какие изменения для оптимальной величины показателя максимально допустимого дефицита (без учета временной стоимости денег) будут обусловлены соответственно в многономенклатурных моделях планирования дефицита (без его покрытия при поставках), если, например, необходимо предусмотреть снижение/увеличение издержек дефицита С_gi для соответствующего i- товара (при неизменных остальных параметрах рассмотренной в этой главе модели).

10.7. Обратите внимание на основные атрибуты и особенности многономенклатурных моделей управления запасами, которые формализуются с учетом временной стоимости денег, при планировании дефицита применительно к случаю, когда планируемый дефицит не будет покрыт при поставках. Обратите также внимание на формализацию соответствующей задачи оптимизации как задачи максимизации интенсивности потока доходов уже применительно к периоду регенерации. Что обусловило выбор именно такого периода при оптимизации стратегии?

10.8. Подчеркните отдельно ситуации, связанные с необходимостью рассматривать специальные вырожденные и граничные случаи анализа такой стратегии управления запасами с учетом временной стоимости денег. Какие особенности модели обусловливают их? Какие граничные случаи соответствующего анализа может быть понадобиться рассматривать?

10.9. Моделируя интересующую вас систему управления запасами отметьте, какие особенности соответствующих задач оптимизации (с учетом временной стоимости денег) для таких многономенклатурных моделей управления запасами (модели планирования дефицита, не покрываемого при поставках), обусловливаемые соотношением или балансом между длительностями промежутков наличия запасов и промежутков планируемого дефицита, необходимо учитывать при нахождении оптимальной стратегии управления в невырожденном случае анализа, когда издержками дефицита и хранения пренебречь нельзя.

10.10. Моделируя возможные ситуации для бизнеса, подчеркните, какие именно изменения для оптимальной величины показателя максимально допустимого дефицита (с учетом временной стоимости денег) будут обусловлены соответственно в многономенклатурных моделях планирования дефицита (без его покрытия при поставках), если потребуется предусмотреть

Ø увеличение/снижение издержек хранения С_hi для соответствующего i- товара (при неизменных остальных параметрах соответствующей модели).

Ø снижение/увеличение издержек дефицита С_gi для соответствующего i- товара (при неизменных остальных параметрах соответствующей модели).

ГЛАВА 11

Дата добавления: 2015-05-08