ПРИМЕР 11.1. (Одно-номенклатурная модель с учетом задаваемых ЛПР ограничений)

Для иллюстрации соответствующих процедур нахождения параметров оптимальной стратегии управления запасами применительно к рассматриваемой модели с требуемым ЛПР ограничением на средние годовые выплаты издержек хранения, рассмотрим условную ситуацию, представленную в главе 2 примером 2.2, когда ограничения при оптимизации стратегии управления запасами отсутствовали, причем временную стоимость денег также не учитываем. Пусть, как и в указанном примере,

· D =800 (ед. тов.) – объем годового потребления (при постоянном спросе);

· C_о =20 (у.е.) – накладные издержки на одну поставку (т. е. стоимость подачи заказа);

· C_п =100 (у.е.) – стоимость единицы товара;

· C_h =20 (у.е.) – годовые издержки хранения единицы товара, составляющие 20% стоимости товара.

Дополнительно, как и ранее, полагаем C_оп = 0 (например, соответствующие издержки уже включены в стоимость товара).

Кроме того, в отличие от условий рассмотренного ранее в главе 2 примера 2.2, здесь нас интересует модификация модели, в рамках которой при оптимизации стратегии управления запасами ЛПР накладывает следующее ограничение. Например, учитывая ограниченный размер доступного для него капитала и весьма объемный список номенклатуры товаров ЛПР считает, что при оптимизации стратегии управления запасами данного товара необходимо обеспечить выполнение условия C_h∙q/2 ≤ 250 (у.е./год). Другими словами, требуется, чтобы среднегодовые издержки хранения по данной номенклатуре товара не превосходили указанного порогового значения 250 (у.е./год).

Приведем параметры оптимальных стратегий управления запасами как для модели с учетом заданных ограничений, так и для модели без учета таковых, и сравним их между собой.

РЕШЕНИЕ. Предварительно напомним, что оптимальные значения параметров q₀ и Т₀ в рамках такой классической модели управления запасами (без учета требуемых ЛПР ограничений), как было показано в примере 2.2 главы 2, составляют:

q₀ = 40 (ед. тов.)

T₀ = 0,05 (года)

Найдем среднегодовые выплаты издержек хранения J₀ для анализируемой номенклатуры товара при такой стратегии управления запасами. Нетрудно видеть, что они составят

J₀ = C_h∙q₀/2 = 20 ∙40/2 = 400(у.е./год)

Как видим, такая сумма превышает предельно допустимое для ЛПР значение этого показателя (250 у.е./год). Поэтому соответствующую оптимальную стратегию необходимо далее корректировать. В частности, рассмотрим возможности управления на основе увеличения частоты поставок анализируемого товара. А именно, в такой ситуации для оптимального размера заказа, используя представленный выше алгоритм (имеет место случай J₀ ≥ J_доп), получаем

= = 25 (ед. тов.)

Аналогично, для оптимальной длительности интервала повторного заказа в этом случае имеем

= = 0,03125

Далее непосредственными расчетами определяем, что соответствующие суммарные годовые затраты (обозначим их через ) при такой стратегии с учетом указанной корректировки составят

= + 20∙25/2 + 800∙100 = 80 890 (у.е./год)

При оптимальной стратегии, но без учета накладываемых ЛПР ограничений, соответствующие суммарные годовые затраты (обозначим их через ) составили бы

= + 20∙40/2 + 800∙100 = 80 800 (у.е./год).

Сравнивая эти показатели годовых затрат между собой, видим, что в этой ситуации их величина для анализируемого товара за счет учета заданных ЛПР ограничений увеличилась. А именно, - она увеличилась на 80 890 – 80 800 = 90 (у.е.). В то же время значение показателя среднегодовых выплат, обусловливаемых издержками хранения, уже не превышает соответствующего требуемого ЛПР порогового уровня.

Моделирование многономенклатурной модели

Теперь представим соответствующие атрибуты такого анализа применительно уже к многономенклатурным моделям систем управления запасами. Напомним, что при оптимальной стратегии, если дополнительно накладываемые ограничения (*) отсутствуют, то размер заказа по i- товару задается равенством (см. главу 7)

q_0i =

где

¨ - скалярное произведение векторов и ;

¨ - вектор годового потребления соответствующих i -товаров;

¨ - вектор годовых издержек хранения этих товаров.

Поэтому среднегодовой объем хранимого i -товара составляет

= .

Соответственно, среднегодовые потери, обусловливаемые издержками хранения для i -товара будут равны

J_0i = .

Таким образом, суммарные (по всей анализируемой номенклатуре товаров) соответствующие годовые издержки хранения (снова обозначаем их, как и для одно-номенклатурной модели, через J₀) определяются соотношением

J₀ =

При наличии ограничений вида (*) применительно к многономенклатурной модели управления запасами особенности корректировки оптимальной стратегии остаются такими же, как для однономенклатурной модели. А именно, -

1. Если J₀ ≤ J_доп, то представленную ранее в главе 7 традиционно рекомендуемую оптимальную стратегию менять не следует, т.к. накладываемое ограничением (*) условие, оказывается выполненным непосредственно в рамках классических процедур оптимизации, а суммарные издержки - минимально возможные.

2. Если J₀ ≥ J_доп, то указанную стратегию требуется корректировать, т.к. накладываемое ограничением ЛПР условие (*) для традиционно рекомендуемой стратегии не выполняется, причем и в этой ситуации необходимо понимать, что в рамках соответствующей корректировки суммарные издержки несколько увеличатся.

В последнем случае применительно к многономенклатурной модели управления запасами сначала находим длительность T₀(J_доп) соответствующего интервала повторного заказа в рамках общих поставок анализируемой номенклатуры товаров, при котором будут выполнены требуемые ЛПР в (*) ограничения. А именно, - решаем следующее неравенство относительно неизвестного Т:

Нетрудно видеть, что применительно к ситуации J₀ > J_доп (когда потребуется корректировка стратегии) для оптимальных параметров T₀(J_доп) и q₀(J_доп) в рамках соответствующей стратегии управления запасами с учетом требуемого ограничения (*) имеют место следующие соотношения.

Интервал повторного заказа (общие поставки в ситуации J₀ > J_доп )

T₀(J_доп) = 2 J_доп /

Размеры заказов (i-товаров в ситуации J₀ > J_доп )

q₀(J_доп) = 2 D_i ∙ J_доп /

Ограничения на среднюю стоимость запасов

(без учета временной стоимости денег)

Рассмотрим теперь ситуацию, в рамках которой величина J в (*) представляет именно среднюю годовую стоимость запасов. Другими словами, рассматриваем случай, когда при оптимизации системы управления запасами ЛПР требует ограничить показатель средней стоимости запасов (соответственно и величину «замороженных» в запасах денежных средств) в течение года. Сначала представим атрибуты соответствующего анализа применительно к интересующим нас одно-номенклатурным моделям управления запасами. Напомним, что при отсутствии ограничений (*) соответствующая оптимальная стратегия управления запасами характеризуется так называемым экономичным размером заказа (q₀). Поэтому средняя годовая стоимость запасов будет составлять С_П q₀ /2. Значение именно такой величины требует ограничить ЛПР в рамках рассматриваемой здесь модификации модели. Таким образом, применительно к данной ситуации именно это значение представляет J = J₀ в (*), причем теперь для показателя J₀ имеем равенство

J₀ = С_П .

При наличии ограничения вида (*) отмеченная выше (в рамках предыдущей модификации модели) особенность корректировки оптимальной стратегии, свойственной традиционной модели, сохранится. А именно:

1. Если J₀ ≤ J_доп, то представленную ранее в главе 2 традиционно рекомендуемую оптимальную стратегию (с использованием формул Уилсона) менять не следует, т.к. накладываемое ограничением (*) условие выполняется уже непосредственно в рамках классических процедур оптимизации, а суммарные издержки останутся минимально возможными.

2. Если J₀ ≥ J_доп, то указанную стратегию необходимо корректировать, поскольку накладываемое требованием ЛПР ограничение (*) для классической оптимальной стратегии не выполняется, причем необходимо понимать, что при этом в рамках соответствующей корректировки суммарные издержки несколько увеличатся.

Разумеется, при этом в последнем случае (J₀ ≥ J_доп) для анализируемой модели системы управления запасами в рамках управления на основе изменения частоты поставок потребуется (чтобы обеспечить задаваемые ЛПР ограничения (*)) соответствующее снижение средней годовой стоимости запасов до приемлемого с точки зрения ЛПР уровня J_доп. Для этого, как и в предыдущей ситуации, потребуется уменьшить размер заказа q₀ и интервал повторного заказа Т₀ (определяемые формулами Уилсона), а следовательно, - увеличить частоту поставок. В частности, для нахождения оптимальных значений этих параметров с учетом заданных ЛПР ограничений (*) по аналогии с предыдущей ситуацией (ограничения на издержки хранения) составим неравенства относительно неизвестных q и Т соответственно:

Таким образом, в ситуации, когда ограничения (*) применительно к классическим рекомендациям не выполняются, для оптимальных значений (обозначим их снова через q₀(J_доп) и T₀(J_доп)) параметров q и Т с учетом (*) находим равенства:

q₀(J_доп) = 2J_доп/C_П

T₀(J_доп) = 2J_доп/(D C_П)

Графическая иллюстрация для такой ситуации вполне аналогична той, которая представлена на рис. 11.1, и поэтому здесь не приводится.

Подчеркнем, что переход от параметров q₀ и T₀ (определяемых формулами Уилсона для традиционных процедур оптимизации стратегии управления запасами) к представленным параметрам q₀(J_доп) и T₀(J_доп) соответственно снова повлечет следующее:

Ø требуемое ЛПР ограничение (*) на величину среднего объема «замороженных» в запасах денежных средств, обусловливаемых необходимостью хранения запасов, будет выполняться;

Ø при этом, разумеется, показатель суммарных годовых потерь (издержки поставок и хранения) несколько увеличится по сравнения с минимально возможным его значением, соответствующим ситуации, когда используются показатели q₀ и T₀ для стратегии управления запасами (см. рис. 11.1).

Моделирование многономенклатурной модели

Теперь представим атрибуты интересующего нас анализа применительно к многономенклатурным моделям систем управления запасами такого типа. Напомним, что для многономенклатурной модели при оптимальной стратегии в ситуации, когда накладываемое ограничение (*) отсутствует, соответствующий средний годовой объем хранимого в запасах i -товара составляет q_0i/2 (формула приведена выше). Поэтому средний годовой объем “замороженных” в запасах i -товара денежных средств составит (обозначаем их через J_0i)

J_0i =

Здесь, как уже отмечалось выше, используются обозначения:

¨ - скалярное произведение векторов и ;

¨ - вектор годового потребления соответствующих i -товаров;

¨ - вектор годовых издержек хранения этих товаров.

Соответственно суммарный среднегодовой объем “замороженных” в запасах денежных средств по всей номенклатуре товаров равен

J₀ = .

где

¨ - скалярное произведение векторов и ;

¨ - вектор стоимостей i- товаров.

Наличие ограничения вида (*) применительно к процедурам оптимизации стратегии управления запасами для рассматриваемой многономенклатурной модели оставляет прежними отмеченные выше особенности таких процедур. В частности, корректировка параметров q_0i и T₀ (определяемых формулами главы 7) потребуется только в случае, когда неравентство J₀ ≤ J_доп не будет выполняться. В указанном случае модификация стратегии управления запасами (представленной в главе 7), как уже было сказано, потребуется, причем необходимо будет сократить длительность периода времени между общими поставками товаров и соответственно сократить объемы заказов i -товаров в партии общей поставки. Для нахождения оптимального такого значения длительности времени между общими поставками товаров с учетом требований ЛПР к допустимому объему (J_доп) «замороженных» в запасах денежных средств (снова обозначаем такой период времени через T₀(J_доп)) составляем следующее неравенство относительно неизвестной переменной Т:

.

В рассматриваемом случае его решением будет следующее оптимальное значение периода повторного заказа T₀(J_доп) при общих поставках товаров с учетом задаваемого ЛПР ограничения (*).

Интервал повторного заказа (общие поставки в ситуации J₀ > J_доп )

T₀(J_доп) = 2 J_доп / .

Соответственно, применительно к ситуации J₀ > J_доп для оптимальных параметров q_0i(J_доп) размеров заказов i- товаров в партии общей поставки с учетом требуемого ограничения (*) имеем следующие соотношения.

Размеры заказов (i-товаров в ситуации J₀ > J_доп )

q₀(J_доп) = 2 D_i ∙ J_доп / .

Для иллюстрации представленных алгоритмов оптимизации стратегии управления запасами с учетом ограничений на объем денежных средств, «замороженных» в запасах, а также для иллюстрации величины отклонений суммарных годовых издержек (от минимально возможных их значений без учета указанных ограничений) при реализации требований ЛПР, задаваемых ограничениями вида (*) в многономенклатурных моделях управления запасами, рассмотрим следующую условную ситуацию применительно к условиями примера 7.1.

ПРИМЕР 11.2. (Многономенклатурная модель: ограничения на среднюю стоимость запасов без учета временной стоимости денег).

Рассмотрим модель примера 7.1 с общими поставками трех видов продуктов (напомним, что С₀ = 40 у.е. при общих поставках). Дополнительно учтем следующую особенность. Пусть требуется минимизировать общие (по всем продуктам) суммарные ожидаемые издержки (хранения и накладных расходов на поставки товаров), но при этом в соответствии с требованиями ЛПР необходимо, чтобы средняя ожидаемая годовая стоимость запасов (т.е. денежных средств, «замороженных» в запасах) не превышала величины J_доп = 2500 у.е..

Подчеркнем, что оптимальная стратегия, найденная в примере 7.1 (при отсутствии указанного ограничения, задаваемого ЛПР) не является приемлемой, т.к. соответствующая ей средняя ожидаемая стоимость запасов 3491 у.е. превышает нормативно требуемое значение 2500 у.е. для этого показателя. Найдем оптимальную длительность периода общих поставок T₀(J_доп) при этих условиях с учетом заданного ограничения. Для этого воспользуемся изложенным выше алгоритмом.

Поскольку в данной ситуации имеем

то соответственно

,

т.е. оптимальная длительность периода общих поставок с учетом заданного ограничения составляет, примерно, 15 дней. При этом для остальных параметров стратегии управления запасами имеем:

объемы i- товаров в заказе –

q1^* = 492;

q2^* = 1025;

q3^* = 246;

издержки хранения (по видам продуктов за год в у.е.) –

Х1^* = 147,6;

Х2^* = 205;

Х3^* = 147,6;

издержки поставок (общие за год в у.е.) –

П = 975,6;

средние стоимости запасов (в у.е.)–

CЗ1 = 738;

CЗ2 = 1025;

CЗ3 = 738.

Как и следовало ожидать, при найденной длительности периода времени между общими поставками анализируемой группы товаров T₀(J_доп), принятом равным 15 дням, уже выполнены требуемые ограничения: 738+1025+738=2501 у.е. (превышение требуемого значения для такого показателя на одну единицу обусловлено выбором целого числа дней для периода общих поставок). Кроме того, найденная стратегия управления запасами при общих поставках (с периодом 15 дней) повлечет увеличение суммарных годовых издержек на хранение и поставку этой группы товаров на 70,8 у.е., т.к. такие издержки для данной стратегии составят 1475,8 у.е., а не 1405 (=707+698) у.е., как было в примере 7.1 при найденной там соответствующей оптимальной стратегии управления запасами для случая, когда отсутствовало задаваемое ЛПР ограничение на среднюю (в течение года) стоимость запасов. При этом среднегодовая сумма денежных средств, вкладываемых в запасы для этой группы товаров, сокращается для ЛПР на 990 у.е. (= 3491 - 2501).

Дата добавления: 2015-05-08