Между поставками товара. Как уже отмечалось выше, рассмотрим модификацию анализируемой модели для случая, когда учитывается временная стоимость денег

Как уже отмечалось выше, рассмотрим модификацию анализируемой модели для случая, когда учитывается временная стоимость денег, причем контрактные условия для выплаты издержек хранения предполагают осуществлять их именно в середине промежутка времени между поставками. В этом случае моменты времени выплат издержек хранения будут соотнесены с серединами соответствующих интервалов повторных заказов.

В рамках анализируемой здесь модификации модели принимаем следующее:

- уходящие платежи, обусловливаемые поставками товара, соотносим с началом каждого соответствующего интервала повторного заказа;

- уходящие платежи, обусловливаемые выплатой издержек хранения имеющегося запаса товара, соотносим с серединой каждого соответствующего интервала повторного заказа;

- приходящие платежи (выручка в рамках работы с товаром) также соотносим, в среднем, с серединой каждого соответствующего интервала повторного заказа.

Величины рассматриваемых денежных потоков для такой модификации модели управления запасами определяются следующим образом:

· уходящие платежи начала периода времени между поставками товара (обозначаемые здесь через УП_Н0 и соотносимые с началом каждого такого периода) —

УП_Н0 = C₀ + C_0П q + C_П q;

здесь C₀ учитывает выплаты в начале периода поставки, обуславливаемые накладными издержками на поставку заказа, которые не зависят от объема партии заказа; C_0П × q учитывает соответствующие издержки на поставку, которые зависят от объема партии заказа; C_П×q учитывает затраты, обуславливаемые стоимостью партии заказа;

· уходящие платежи середины периода времени между поставками товара (обозначаемые здесь через УП_С0 и соотносимые с серединой каждого такого периода) —

УП_С0 = C_h q T/2;

здесь C_h q T/2 представляет издержки хранения на периоде поставки, которые, как уже отмечалось выше, соотносятся с серединой периода времени между поставками товара;

· приходящие платежи (обозначаемые здесь через ПП_С0 и соотносимые, в среднем, с серединой каждого соответствующего периода указанного выше типа) —

ПП_С0 = (C_П + Р_П) q;

здесь С_П q - возвращенная стоимость партии заказа, а P_П q —соответствующая прибыль.

ЗАМЕЧАНИЕ. Напомним, что при равномерном спросе возврат стоимости партии заказа (плюс соответствующая прибыль) реализуется также равномерно в течение всего периода времени между поставками. Поскольку в рамках рассматриваемой здесь модификации модели для учета временной стоимости денег (доходов/издержек) принимается схема начисления простых процентов, то нетрудно видеть, что не ограничивая общности, можно соотносить, как уже указывалось выше, момент прихода всей соответствующей суммы (C_П + Р_П) q именно с серединой интервала повторного заказа.

Графическая иллюстрация соответствующих денежных потоков уходящих и приходящий платежей в рамках рассматриваемой модификации модели управления запасами приведена на рис. 11.2.

Рис. 11.2. Схема денежных потоков на интервалах повторных заказов.

Приведем все отмеченные выше денежные потоки на одном интервале повторного заказа к его середине. После этого делим полученную их сумму (с учетом соответствующих знаков для уходящих и приходящих денежных потоков) на длительность Т такого промежутка времени. Теперь можем формализовать соответствующую задачу оптимизации интенсивности потока доходов. А именно, задача максимизации интенсивности суммарного денежного потока доходов с учетом временной стоимости денег (обозначим такую интенсивность для рассматриваемой модели с выплатой издержек хранения в середине промежутка времени между поставками товара, причем с учетом указанных выше задаваемых ЛПР ограничений, через F_CO) после реализации указанных атрибутов анализа с учетом временной стоимости денег может быть записана следующим образом:

,

при ограничении (**), где

F_CO = ,

причем, как и ранее, оптимизируемые параметры стратегии управления запасами q и T связаны равенством T=q/D.

Упрощая вид функции F_CO за счет исключения слагаемых, которые не зависят от выбора параметров q и T, заменяя при этом переменную Т на переменную q (с учетом указанного равенства T=q/D), а также меняя знак всего выражения на противоположный перепишем интересующую нас задачу оптимизации в следующем более компактном виде, как задачу минимизации потерь в интенсивности потока доходов (за счет выбора размера партии заказа):

f_CO =

при ограничении

С_h q/2 ≤ J_доп.

Из последнего неравенства видим, что в соответствии с заданным ограничением размер заказа при управлении запасами не может превышать некоторой пороговой величины q_доп, которую легко находим:

.

При этом длительность интервала повторного заказа также не может превышать соответствующей пороговой величины Т_доп, где

Т_доп = .

Таким образом, учитывая найденное в главе 2 значение точки минимума (оно было обозначено там через q_опт(mod)) интересующей нас функции (применительно к ситуации, когда отсутствует ограничение (**)) для оптимального размера заказа (обозначим его здесь через q^*_СО) в рамках рассматриваемой здесь модификации модели управления запасами с учетом временной стоимости денег и накладываемых ЛПР ограничений имеем:

1) либо

,

если q_доп ≥ q_опт(mod);

2) либо

,

- в противном случае.

Аналогично, для оптимальной длительности интервала повторного заказа (обозначим его здесь через Т^*_СО) в рамках интересующей нас модификации модели управления запасами с учетом временной стоимости денег и накладываемых ЛПР ограничений имеем:

1) либо

,

если q_доп ≥ q_опт(mod);

2) либо

,

-в противном случае.

Другими словами, особенность процедур оптимизации стратегии управления запасами с учетом задаваемых ЛПР ограничений вида (**) формализуется при управлении на основе изменения частоты поставок вполне аналогично тому, как это было сделано применительно к рассмотренной выше в этой главе ситуации без учета временной стоимости денег. А именно, в интересующем нас здесь случае указанную стратегию требуется корректировать тогда и только тогда, когда выполняется неравенство

q_доп ≥ q_опт(mod)

или неравенство

Т_доп ≥ Т_опт(mod).

При этом для снижения интенсивности анализируемых выплат J = C_h q/2 до требуемого и допустимого для ЛПР уровня J_доп необходимо соответственно уменьшить размер заказа и сократить длительность интервала повторного заказа (относительно их оптимальных значений q_опт(mod) и Т_опт(mod), найденных в главе 2). Величина такого уже сокращенного размера заказа определяется значением q_доп, которое было представлено выше. Соответственно для интервала повторного заказа вместо значения Т_опт(mod) в качестве указанного сокращенного значения будет выступать показатель Т_доп.

Соответствующая графическая иллюстрация приведена на рис. 11.3.

Рис. 11.3. Схематическое представление атрибутов для процедур требуемой корректировки при оптимизации стратегии управления запасами

в ситуации, когда q_доп < q_опт(mod).

ПРИМЕР 11.3. (Модифицированная одно-номенклатурная модель: выплата издержек хранения в середине интервала повторного заказа и учет временной стоимости денег).

Для иллюстрации соответствующих процедур нахождения параметров оптимальной стратегии управления запасами применительно к рассматриваемой модели с учетом временной стоимости денег и требуемого ЛПР ограничения на интенсивность уходящего денежного потока выплат издержек хранения, а также для иллюстрации значений основных показателей такой оптимальной стратегии в сравнении с рекомендациями классического подхода (без учета временной структуры процентных ставок) рассмотрим условную ситуацию, представленную выше в примере 11.1, но уже применительно к модели, когда учитывается временная стоимость денег при управления запасами. Пусть, как и в указанном примере (см. также пример 2.3), атрибуты анализируемой модели остаются прежними:

· D=800 (ед. тов.) – объем годового потребления (при постоянном спросе);

· C_о=20 (у.е.) – накладные издержки на одну поставку (т. е. стоимость подачи заказа);

· C_п=100 (у.е.) – стоимость единицы товара;

· Р_п=50 (у.е.) – прибыль от реализации единицы товара;

· C_h=20 (у.е.) – годовые издержки хранения единицы товара, составляющие 20% стоимости товара.

Дополнительно, как и ранее, для удобства дальнейшего сравнения результатов с аналогичными, но для модели без учета временной стоимости денег, полагаем C_оп = 0 (например, соответствующие издержки уже включены в стоимость товара). Также принимаем, что годовая ставка наращения составляет 20%, т.е. r = 0,2.

Кроме того, в отличие от указанного выше примера, здесь нас интересует модификация модели, в рамках которой при оптимизации стратегии управления запасами ЛПР накладывает следующее ограничение. А именно, учитывая ограниченный размер доступного для него капитала и весьма широкий список номенклатуры товаров при оптимизации стратегии управления запасами данного товара необходимо обеспечить выполнение условия C_h q/2 ≤ 250 (у.е./год). Другими словами, требуется, чтобы интенсивность денежного потока уходящих платежей, обусловливаемых выплатой издержек хранения по данной номенклатуре товара не превосходила указанного порогового значения 250 (у.е./год).

Найдем параметры оптимальной стратегии управления запасами для модели с учетом временной структуры процентных ставок, а также заданных ЛПР ограничений, и сравним их с найденными в примере 11.1 результатами для случая, когда временная стоимость денег не учитывалась.

РЕШЕНИЕ. Предварительно отметим, что в рамках оптимальной стратегии управления запасами с учетом временной стоимости денег (но все еще без учета задаваемых ЛРП ограничений) для оптимальных значений параметров q и Т (обозначаем их через q₀^* и T₀^*) в примере 2.3. главы 2 были найдены значения

q₀^* = 28,22 (ед. тов.),

T₀^* = 0,03527 (года).

Найдем интенсивность выплат издержек хранения для анализируемой номенклатуры товара при такой стратегии управления запасами: она составит

C_h∙q₀/2 = 20 28,22/2 = 282,2(у.е./год)

Как видим, такая интенсивность превышает предельно допустимое для ЛПР значение этого показателя (250 у.е./год). Поэтому соответствующую оптимальную стратегию необходимо далее корректировать на основе увеличения частоты поставок анализируемого товара. А именно, в такой ситуации для оптимального размера заказа на основе представленного выше алгоритма (имеет место случай q_доп ≤ q_опт(mod)) получаем

= = 25 (ед. тов.)

Аналогично, для оптимальной длительности интервала повторного заказа в этом случае имеем

= = 0,03125

Далее непосредственными расчетами определяем, что соответствующая интенсивность потока доходов (обозначим ее через ) при такой стратегии с учетом указанной корректировки составит

= [25 (100+50 - 20 0,03125/2) – (1+0,2 0,03125/2)

(20+100∙25)] = 38 858 (у.е./год)

Сравнивая с оптимальной стратегией, учитывающей временную стоимость денег, но без учета ограничений, накладываемых ЛПР на интенсивность выплат издержек хранения (см. пример 2.3 главы 2), видим, что в этой ситуации интенсивность потока доходов для анализируемого товара за счет учета заданных ограничений несколько снизилась. А именно, - она уменьшилась всего на 38 880 – 38 858 = 22 (у.е./год). В то же время значение интенсивности соответствующих выплат, обусловливаемых именно издержками хранения, уже не превышает требуемого ЛПР порогового уровня (250 у.е. / год) вместо уровня 282 у.е./год в рамках оптимальной стратегии управления запасами с учетом временной стоимости денег (но без учета ограничений).

Сравнивая с оптимальной стратегией, которая учитывает задаваемое ЛПР ограничение, но не учитывает временную стоимость денег (пример 11.1), видим, что применительно к данной ситуации наличие ограничения на интенсивности выплат издержек хранения (причем, аналогичного ограничению на средние годовые издержки хранения для модели, не учитывающей временную стоимость денег) при нахождении оптимальной стратегии управления запасами привело к идентичным решениям как применительно к ситуации с учетом временной структуры процентных ставок, так и применительно к ситуации без учета таковой (параметры стратегий совпадают).

Моделирование для многономенклатурной модели

Теперь представим атрибуты интересующего нас анализа применительно к многономенклатурным моделям систем управления запасами такого типа. Напомним, что для многономенклатурной модели при оптимальной стратегии в ситуации, когда накладываемое ограничение (**) отсутствует, соответствующая суммарная интенсивность выплат денежных средств из-за издержек хранения по всей номенклатуре товаров составляет

J₀ = .

Наличие ограничения вида (**) применительно к процедурам оптимизации стратегии управления запасами для рассматриваемой многономенклатурной модели оставляет прежними отмеченные выше особенности таких процедур. В частности, корректировка параметров q_0i и T₀ (определяемых формулами главы 7) потребуется тогда и только тогда, когда неравентство J₀ ≤ J_доп не будет выполняться. В указанном случае модификация стратегии управления запасами (представленной в главе 7), как уже было сказано, потребуется, причем необходимо будет сократить длительность периода времени между общими поставками товаров и соответственно уменьшить объемы заказов i -товаров в партии общей поставки. Оптимальное значение (после корректировки) длительности времени между общими поставками товаров с учетом требований ЛПР к допустимому объему (J_доп) «замороженных» в запасах денежных средств (опять обозначаем такой период времени через T₀(J_доп)) находим вполне аналогично тому, как это было реализовано применительно к многономенклатурной модификации модели с ограничением вида (*).

Интервал повторного заказа (общие поставки в ситуации J₀ > J_доп )

T₀(J_доп) = 2 J_доп / .

Соответственно, применительно к ситуации J₀ > J_доп для оптимальных параметров q_0i(J_доп) размеров заказов i- товаров в партии общей поставки с учетом требуемого ограничения (*) имеем следующие соотношения.

Размеры заказов (i-товаров в ситуации J₀ > J_доп )

q₀(J_доп) = 2 D_i ∙ J_доп / .

Ограничения на стоимость запасов

(с учетом временной стоимости денег)

Рассмотрим модификацию одно-номенклатурной модели, при которой величина J в ограничении (*) представляет среднюю стоимость запасов, причем процедуры оптимизации предполагают максимизацию интенсивности суммарного денежного потока доходов с учетом временной стоимости денег и заданного требованием ЛПР ограничения (*). Уточним соответствующую формализацию такого ограничения применительно к рассматриваемому случаю. А именно, поскольку объем хранимого запаса составляет (в среднем) в течение года J₀ = С_П∙ q /2, то соответственно ограничение(*) в рамках рассматриваемой здесь модификации модели удобно задавать в виде

С_П q/2 ≤ J_доп,

(***)

где J_доп – максимально допустимое для ЛПР значение показателя средней стоимости запасов по анализируемой номенклатуре товара (с учетом доступного для ЛПР капитала).

Применительно к рассматриваемой здесь модификации модели управления запасами все денежные потоки (уходящие и приходящие) определяются теми же соотношениями, а также соотносятся с теми же моментами времени (на интервале повторного заказа), как и в рассмотренном выше случае с ограничением на интенсивность выплат издержек хранения. Поэтому задача максимизации интенсивности суммарного денежного потока доходов с учетом временной стоимости денег, причем с учетом указанных выше задаваемых ЛПР ограничений (***) снова формулируется как задача максимизации функции F_СО, но уже при ограничениях (***).

Соответственно, процедуры оптимизации стратегии управления запасами остаются прежними, но с учетом следующей особенности. В рамках данной модификации модели, учитывая заданное здесь ограничение (***), размер заказа не может превышать пороговой величины q_доп, определяемой равенством

.

При этом длительность интервала повторного заказа также не может превышать пороговой величины Т_доп, которая определяется равенством

Т_доп = .

Таким образом, как и в случае ограничения на интенсивность выплаты издержек хранения, учитывая найденное в главе 2 значение точки минимума (напомним, что оно было обозначено там через q_опт(mod)) интересующей нас функции потерь в интенсивности доходов (применительно к ситуации, когда отсутствует ограничение (***)), для оптимального размера заказа (снова обозначим его здесь через q^*_СО) в рамках рассматриваемой здесь модификации модели управления запасами с учетом временной стоимости денег и накладываемых ЛПР ограничений на среднегодовую стоимость запасов имеем:

1) если q_доп ≥ q_опт(mod), то

,

2) если q_доп ≤ q_опт(mod), то

.

Аналогично, для оптимальной длительности интервала повторного заказа (оставим для него здесь обозначение Т^*_СО) в рамках интересующей нас модификации модели управления запасами с учетом временной стоимости денег и накладываемых ЛПР ограничений имеем:

1) если q_доп ≥ q_опт(mod), то

,

2) если q_доп ≤ q_опт(mod), то

.

Как видим, особенность процедур оптимизации стратегии управления запасами с учетом задаваемых ЛПР ограничений вида (***) и для этой модификации модели управления запасами формализуется вполне аналогично тому, как это было сделано применительно к рассмотренной выше в этой главе ситуации без учета временной стоимости денег. В частности, в рассматриваемом здесь случае указанную стратегию требуется корректировать тогда и только тогда, когда выполняется неравенство q_доп ≥ q_опт(mod) или неравенство Т_доп ≥ Т_опт(mod). При этом, для учета требования ЛПР, задаваемого соответствующим ограничением, необходимо уменьшить размер заказа и сократить длительность интервала повторного заказа (относительно их оптимальных значений q_опт(mod) и Т_опт(mod), найденных в главе 2). Величина оптимального размера заказа при этом определяется значением q_доп, которое было представлено выше. Соответственно для интервала повторного заказа вместо значения Т_опт(mod) в качестве оптимального значения будет выступать показатель Т_доп.

Соответствующая модификация для многономенклатурной модели

Теперь представим атрибуты интересующего нас анализа применительно к многономенклатурным моделям систем управления запасами такого типа. Напомним, что для многономенклатурной модели при оптимальной стратегии в ситуации, когда накладываемые ограничения (***) отсутствуют, суммарный среднегодовой объем “замороженных” в запасах денежных средств (J₀) по всей номенклатуре товаров определяется равенством

J₀ = .

Наличие ограничения вида (***) применительно к процедурам оптимизации стратегии управления запасами для рассматриваемой многономенклатурной модели оставляет прежними отмеченные выше особенности таких процедур. В частности, корректировка параметров q_0i и T₀ (определяемых формулами главы 7) потребуется только в случае, когда неравентство J₀ ≤ J_доп не будет выполняться. В указанном случае модификация стратегии управления запасами (представленной в главе 7), как уже было сказано, потребуется, причем необходимо будет сократить длительность периода времени между общими поставками товаров и соответственно сократить объемы заказов i -товаров в партии общей поставки. Оптимальное такое значение (после корректировки) длительности времени между общими поставками товаров с учетом требований ЛПР к допустимому объему (J_доп) «замороженных» в запасах денежных средств (снова обозначаем такой период времени через T₀(J_доп)) находим вполне аналогично тому, как это было реализовано применительно к модификации модели с ограничением вида (**).

Интервал повторного заказа (общие поставки в ситуации J₀ > J_доп )

T₀(J_доп) = 2 J_доп /

Соответственно, применительно к ситуации J₀ > J_доп для оптимальных параметров q_0i(J_доп) размеров заказов i- товаров в партии общей поставки с учетом требуемого ограничения (*) имеем следующие соотношения.

Размеры заказов (i-товаров в ситуации J₀ > J_доп )

q₀(J_доп) = 2 D_i J_доп /

Для иллюстрации представленного алгоритма оптимизации стратегии управления запасами с учетом временной стоимости денег и учетом ограничений на объем денежных средств, «замороженных» в запасах при реализации требований ЛПР, задаваемых ограничениями вида (***), рассмотрим следующую условную ситуацию применительно к условиями примера 7.4.

ПРИМЕР 11.4. (Модифицированная многономенклатурная модель с выплатой издержек хранения в середине интервала повторного заказа: учет ограничения на стоимость запасов и учет временной стоимости денег).

Рассмотрим модель примера 7.4 с общими поставками трех видов продуктов (напомним, что С₀ = 40 у.е. при общих поставках). Дополнительно необходимо учесть следующую особенность. Пусть при управлении запасами требуется максимизировать общую (по всем продуктам) суммарную интенсивность потока доходов, но при этом в соответствии с требованиями ЛПР необходимо, чтобы средняя ожидаемая годовая стоимость запасов (т.е. величина денежных средств, «замороженных» в запасах) не превышала значения J_доп = 2500 у.е..

Обратим внимание на то, что при оптимальной стратегии, найденной в примере 7.4 главы 7 (при отсутствии указанного ограничения, задаваемого ЛПР, но с учетом временной стоимости денег), средняя ожидаемая годовая стоимость запасов анализируемых трех видов продуктов составляет

= 3 479/2 + 2 998/2 + 6 239,5/2 = 2 435 (у.е.).

Как видим, значение этого показателя является приемлемым, т.к. найденная средняя ожидаемая стоимость запасов 2 435 у.е., соответствующая указанной стратегии, не превышает нормативно требуемого ЛПР значения 2500 у.е.. Поэтому корректировка параметров оптимальной стратегии в данной ситуации не требуется.

Дата добавления: 2015-05-08