Мета роботи. Целью работы является исследование систем автоматического регулирования на устойчивость с использованием алгебраических и частотных характеристик

Целью работы является исследование систем автоматического регулирования на устойчивость с использованием алгебраических и частотных характеристик. Получение практических навыков моделирования САР в Vissim и MathCAD для получения устойчивых систем с заданными показателями качества.

2.2 Методичні вказівки з організації самостійної роботи студентів

Устойчивость - косвенная характеристика качества САР. Устойчивая САР может быть полезна, а может быть и бесполезна. Неустойчивая САР - вредна однозначно. Степень устойчивости САР характеризуется численными значениями - запасами устойчивости, которые и используются для косвенной характеристики качества САР.

По Ляпунову система устойчива, если по окончании воздействия она возвращается в исходное состояние. Весовая функция системы, т.е. ее реакция на дельта-функцию δ(t) Дирака, в соответствии с приведенным определением может характеризовать устойчивость системы.

Поскольку переходная функция h(t) системы (ее реакция на ступенчатое воздействие) является интегралом от ее весовой функции, то и по переходной функции можно судить о факте и степени устойчивости САР.

САР устойчива, если ее переходная функция с течением времени монотонно или колебательно стремится к некоторому постоянному значению.

Отклик на ступенчатое воздействие САР, находящейся на границе устойчивости, представляет собой незатухающие колебания. Отклик неустойчивых САР на ступенчатое воздействие имеет колебательный характер, причем амплитуда колебаний возрастает с течением времени. Чем более неустойчива САР, тем быстрее возрастает амплитуда отклика. Скорость роста амплитуды целесообразно соотносить с периодом колебаний.

Линейные системы, содержащие контур из устойчивых звеньев могут быть неустойчивыми. С физической точки зрения именно наличие контура обратной связи является необходимым (но не достаточным) условием неустойчивости системы. Поэтому наличие в системе контура, например местной или главной обратной связи, служит структурным признаком потенциальной неустойчивости САР. В системах управления неустойчивость, как правило, является недопустимой, вредной. В системах генерации (энергетических мощностей, радиотехнических сигналов и т.п.) неустойчивость напротив, необходима.

Из определения устойчивости Ляпунова вытекает основное условие устойчивости САР: все корни характеристического полинома (знаменателя передаточной функции) САР должны иметь отрицательную действительную часть, т.е. располагаться в левой полуплоскости комплексной плоскости.

Критерии устойчивости это правила, в соответствии с которыми можно судить об устойчивости САР, не вычисляя непосредственно корней ее характеристического полинома.

Критерии разделяются в соответствии с используемым математическим аппаратом на алгебраические (Гурвица, Рауса и Воронова) и частотные (Михайлова и Найквиста).

С практической точки зрения критерии полезно разделить на те, которые не требуют для своего применения выполнения каких либо условий (Гурвица, Воронова и Михайлова) и критерий Найквиста, который требует для своего практического применения выполнения условия: разомкнутая САР должна быть устойчивой.

Значимость критериев Гурвица и Михайлова в настоящее время, когда широко применяются программы объектно-ориентированного моделирования (Vissim и др.), в некоторой мере уменьшилась. Ранее эти критерии использовались, в частности, для оценки устойчивости разомкнутого контура с целью определения и обеспечения выполнения условия практического применения критерия Найквиста. Тем не менее, и сейчас знание критериев Гурвица и Михайлова не повредит, их можно использовать для инженерных экспресс - оценок устойчивости.

Критерий Гурвица сформулируем для системы третьего порядка. Это самая простая система с положительными коэффициентами характеристического полинома, способная терять устойчивость. В то же время, на примере этой системы можно проследить все основные свойства линейной САР общего вида. Пусть передаточная функция САР имеет вид:

Степень полинома числителя должна быть меньше степени полинома знаменателя (характеристического полинома САР) – это условие физической реализуемости САР. Все коэффициенты знаменателя должны быть положительными– это практически удобное необходимое, но не достаточное условие устойчивости САР.

В соответствии с критерием Гурвица САР устойчива, если выполняется соотношение a₁· a₂ > a₀, что легко проверяется даже в уме. Отметим, что при а₀ = 0 в получается система второго порядка и из критерия Гурвица следует, что она устойчива при любом соотношении положительных коэффициентов характеристического полинома. Но система второго порядка это просто колебательное звено, переходная функция которого при декременте затухания, большем нуля, стремится достичь некоторого постоянного уровня, что согласуется с результатом, даваемым критерием Гурвица.

Критерий устойчивости Найквиста.

Замкнутая САР устойчива тогда и только тогда, когда амплитудно-частотная характеристика (АФЧХ) ее разомкнутого контура начинается на действительной оси комплексной плоскости и при изменении частоты от нуля до бесконечности не охватывает точку с координатами (-1, 0j).

Приведенная формулировка критерия Найквиста справедлива только для случая, когда разомкнутая САР устойчива. Проверить факт устойчивости разомкнутого контура можно с помощью критериев Михайлова или Гурвица, а также прямым моделированием в Vissim’е разомкнутого контура и определением факта устойчивости по переходной характеристике.

Но если имеется АФЧХ, то об устойчивости разомкнутого контура проще всего судить по его поведению в окрестностях начала координат, т.е. при частотах, стремящихся к бесконечности. В соответствии с обобщенным инверсным критерием устойчивости Михайлова: АФЧХ устойчивого разомкнутого контура приходит в начало координат по часовой стрелке, в то время как годограф неустойчивого разомкнутого контура приходит против часовой стрелки:

Логарифмический вариант критерия Найквиста.

Поскольку ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутого контура содержат ту же самую информацию о системе, что и АФЧХ, то по ним также можно судить об устойчивости САР. Зачастую это значительно удобнее.

Замкнутая САР устойчива тогда и только тогда, когда частота среза ω_ср ЛАЧХ разомкнутого контура меньше частоты ω_π (читается омега-пи) ЛФЧХ:

Достоинство критерия Найквиста состоит в том, что, используя его аналитические инструменты – ЛАЧХ и ЛФЧХ или АФЧХ разомкнутого контура можно не только установить факт устойчивости или неустойчивости замкнутой САР, но и количественно оценить степень устойчивости. Эта количественная оценка косвенно характеризует и качество САР. Более того, анализируя названные частотные характеристики можно выработать меры по стабилизации и оптимизации параметров САР. Это и определяет непреходящую значимость критерия устойчивости Найквиста.

Запасы устойчивости по амплитуде () и фазе () это численные параметры, характеризующие степень устойчивости замкнутой САР.

Запас устойчивости по амплитуде(ЗУА) ( показывает во сколько раз (или, что то же самое, на сколько децибел) следует увеличить коэффициент усиления контура САР, с тем, чтобы перевести ее на границу устойчивости. Т.о. если усиление контура устойчивой САР увеличится по каким-либо причинам меньше, чем на запас устойчивости, то САР сохранит устойчивость.

Запас устойчивости по фазе показывает, какую дополнительную фазу на частоте ω_ср следует внести в контур с тем, чтобы САР оказалась на границе устойчивости.

Запасы устойчивости необходимы для того, чтобы качество САР оставалось удовлетворительным даже в том случае, когда при моделировании, как это и бывает, не были учтены некоторые малозначительные элементы реальной системы. Кроме того, запасы устойчивости необходимы и для сохранения удовлетворительного качества САР при влиянии на нее внешних факторов, которые не всегда можно учесть, например, изменения температуры и т.п.

Практика показывает, что у хороших САР запасы устойчивости по фазе находятся в пределах 40⁰ – 70⁰ градусов, а по амплитуде в пределах 4 – 10 раз (12 – 20 дБ). Для статических систем, в отличие от астатических к этим требованиям добавляется ограничение на коэффициент усиления контура: он должен находиться в пределах 20 – 40 дБ (10 – 100 единиц).

Если запасы устойчивости и контурное усиление САР находятся в названных выше пределах, то время регулирования САР примерно равно t_p = 3 / ω_cp, а перерегулирование не превышает 40 %.

Дата добавления: 2015-05-09