Замкнутые системы массового обслуживания

До сих пор мы рассматривали системы, в которых входящий поток никак не связан с выходящим. Такие системы называются разомкнутыми. В некоторых же случаях обслуженные требования после задержки опять поступают на вход. Такие СМО называются замкнутыми.

Примеры:

· Поликлиника, обслуживающая данную территорию.

· Бригада рабочих, закрепленная за группой станков.

В замкнутых СМО циркулирует одно и то же конечное число потенциальных требований. Пока потенциальное требование не реализовалось в качестве требования на обслуживание, считается, что оно находится в блоке задержки.

В момент реализации оно поступает в саму систему. Например, рабочие обслуживают группу станков. Каждый станок является потенциальным требованием, превращаясь в реальное в момент своей поломки. Пока станок работает, он находится в блоке задержки, а с момента поломки до момента окончания ремонта – в самой системе. Каждый работник является каналом обслуживания.

Пусть n – число каналов обслуживания, s – число потенциальных заявок, , λ –интенсивность потока заявок каждого потенциального требования, m – интенсивность обслуживания, . Поток

· Вероятность простоя ( того, что все обслуживающие аппараты свободны, нет заявок):

(4.27)

· Финальные вероятности состояний системы

(4.28)

Через эти вероятности выражается среднее число замкнутых каналов:

или

(4.29)

Через находим абсолютную пропускную способность системы

(4.30)

а также среднее число заявок в системе

(4.31)

Пример решения задачи.

Рабочий обслуживает 4 станка. Каждый станок отказывает с интенсивностью λ = 0,5 отказа в час. Среднее время ремонта ч. Определить пропускную способность системы.

Решение

Эта задача рассматривает замкнутую СМО,

Вероятность простоя рабочего определяется по формуле (4.27):

Вероятность занятости рабочего

.

Если рабочий занят, он налаживает станков в единицу времени, пропускная способность системы

станков в час.

Ø Важно помнить. При применении экономического показателя важно правильно оценить реальные издержки, которые могут изменяться, например, от времени года, от объема запасов угля и пр.

На практике часто встречаются; замкнутые системы обслуживания, у которых входящий поток заявок существенным образом зависит от состояния самой СМО. В качестве примера можно привести ситуацию, когда на ремонтную базу поступают с мест эксплуатации некоторые машины: понятно, что чем больше машин находится в состоянии ремонта, тем меньше их продолжает эксплуатироваться и тем меньше интенсивность потока вновь поступающих на ремонт машин. Для замкнутых СМО характерным является ограниченное число источников заявок, причем каждый источник «блокируется» на время обслуживания его заявки (т.е. он не выдает новых заявок). В подобных системах при конечном числе состояний СМО предельные вероятности будут существовать при любых значения интенсивностей потоков заявок и обслуживании. Они могут быть вычислены, если вновь обратиться к процессу гибели и размножения.

Задания для самостоятельной работы.

1. Станция «Железная дорога» в мегаполисе принимает составы для разгрузки угля на платформах. В среднем за сутки на станцию прибывают 16 составов с углем. Поступление носит случайный характер. Плотность прихода составов показала, что поступление на разгрузку удовлетворяет пуассоновскому потоку с параметром состава в час. Время разгрузки состава является случайной величиной, удовлетворяющей экспоненциальному закону со средним временем разгрузки час. Простой состава в сутки составляет y.e; простой платформы в сутки за опоздание прихода состава – y.e; стоимость эксплуатации платформы в сутки – y.e. Издержки подсчитать за сутки. Требуется провести анализ эффективности функционирования станции.

2. Интернет-провайдер в небольшом городе имеет 5 выделенных каналов обслуживания. В среднем на обслуживание одного клиента уходит 25 минут. В систему в среднем поступает 6 заказов в час. Если свободных каналов нет, следует отказ. Определить характеристики обслуживания: вероятность отказа, среднее число занятых обслуживанием линий связи, абсолютную и относительную пропускные способности, вероятность обслуживания. Найти число выделенных каналов, при котором относительная пропускная способность системы будет не менее 0,95. Считать, что потоки заявок и обслуживаний простейшие.

3. Порт имеет один причал для разгрузки судов. Интенсивность потока 0,4 в сутки, среднее время разгрузки одного судна 2 суток. В предположении неограниченности очереди определить показатели эффективности работы причала и вероятность ожидания разгрузки не более 2 судов.

4. Порт имеет один причал для разгрузки судов. Интенсивность потока 0,4 в сутки, среднее время разгрузки одного судна 2 суток. Определить показатели работы порта при условии, что судно покидает порт при наличии в очереди более 3 судов.

Что означают следующие термины и понятия?

СМО	Марковский процесс
Очередь	Абсолютная пропускная способность
Системы с неограниченной очередью Каналы обслуживания	Относительная пропускная способность Среднее число занятых каналов
Системы с отказами Системы с ожиданием и ограниченной очередью	Вероятность простоя Среднее время пребывания заявки в СМО
Поток требований	Вероятность отказа
Стационарный поток Поток без последействий	Вероятность отказа Среднее число заявок
Ординарный поток	Среднее время ожидания
Пуассоновский поток	Замкнутые СМО
Интенсивность потока	Разомкнутые СМО
Загрузка системы

Теперь вы должны уметь:

o при решении прикладных задач использовать основы марковской теории;

o использовать методы статистического моделирования систем массового обслуживания;

o определить параметры систем массового обслуживания с отказами, с ограниченной очередью, с неограниченной очередью;

o описывать функционирование различных систем массового обслуживания;

o строить математические модели массового обслуживания;

o определять основные характеристики функционирования различных систем массового обслуживания.

Контрольные вопросы:

1. Дайте определение системы массового обслуживания с неограниченной очередью.

2. Определите процесс функционирования системы массового обслуживания с неограниченной очередью.

3. Перечислите основные характеристики системы массового обслуживания с неограниченной очередью.

4. Дайте определение системы массового обслуживания с отказами.

5. Определите процесс функционирования системы массового обслуживания с отказами.

6. Перечислите основные характеристики системы массового обслуживания с отказами.

7. Дайте определение системы массового обслуживания с ограниченной очередью.

8. Определите процесс функционирования системы массового обслуживания с ограниченной очередью.

9. Перечислите основные характеристики системы массового обслуживания с ограниченной очередью.

10. В чем особенности замкнутых систем массового обслуживания?

список ЛИТЕРАТУРЫ

1. Акулич И.А. Математическое программирование в примерах и задачах. – М.: Высшая школа. 1986.

2. Бережная Е.В., Бережной В.И. Математические методы моделирования экономических систем. – М.: Финансы и статистика. 2001. – 368 с.

3. Гнеденко, Б.В. Введение в теорию массового обслуживания /Б.В. Гнеденко, И.Н. Коваленко: 3-е изд., испр. и доп. – М.: Эдиториал УРСС, 2005. – 400 с.

4. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике. – М.: ДИС, 1997.

5. Исследование операций в экономике / под ред. Н.Ш. Кремера М.: Банки и биржи, изд-кое объединение ЮНИТИ, 2000.

6. Количественные методы финансового анализа / под ред. Стивена Дж. Брауна и Марка П. Крицмена. – М.: ИНФРА-М, 1996.

7. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании. – М.: ДЕЛО, 2000.

8. Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика: учебник для вузов / под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. – 311с.

9. Лабскер Л.Г., Бабешко Л.О. Игровые методы в управлении экономикой и бизнесом. – М.: ДЕЛО, 2001. – 464 с.

10. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Брайлов А.В. Математика в экономике. – М.: Финансы и статистика, 1999.

11. Шелобаев С.И. Математические методы и модели. Экономика, финансы, бизнес: учебное пособие для вузов. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2000. – 367 с.

12. Экономико-математические методы и прикладные модели: учебное пособие для вузов // В.В. Федосеев, А.Н. Гармаш, Д.М. Дайитбегов и др.; Под ред. В.В. Федосеева. – М.: ЮНИТИ, 1999. – 391 с.

13. Экономический анализ: ситуации, тесты, примеры, задачи, выбор оптимальных решений, финансовое прогнозирование / под ред. проф. Баканова М.И. и проф. Шеремета А.Д. – М.: Финансы и статистика, 2000.

Приложение

Таблица значений функции Лапласса

x	Ф(x)	x	Ф(x)	x	Ф(x)	x	Ф(x)
0.00	0.0000	0.32	0.1255	0.64	0.2389	0.96	0.3315
0.01	0.0040	0.33	0.1293	0.65	0.2422	0.97	0.3340
0.02	0.0080	0.34	0.1331	0.66	0.2454	0.98	0.3365
0.03	0.0120	0.35	0.1368	0.67	0.2486	0.99	0.3389
0.04	0.0160	0.36	0.1406	0.68	0.2517	1.00	0.3413
0.05	0.0199	0.37	0.1443	0.69	0.2549	1.01	0.3438
0.06	0.0239	0.38	0.1480	0.70	0.2580	1.02	0.3461
0.07	0.0279	0.39	0.1517	0.71	0.2611	1.03	0.3485
0.08	0.0319	0.40	0.1554	0.72	0.2642	1.04	0.3508
0.09	0.0359	0.41	0.1591	0.73	0.2673	1.05	0.3531
0.10	0.0398	0.42	0.1628	0.74	0.2703	1.06	0.3554
0.11	0.0438	0.43	0.1664	0.75	0.2734	1.07	0.3577
0.12	0.0478	0.44	0.1700	0.76	0.2764	1.08	0.3599
0.13	0.0517	0.45	0.1736	0.77	0.2794	1.09	0.3621
0.14	0.0557	0.46	0.1772	0.78	0.2823	1.10	0.3643
0.15	0.0596	0.47	0.1808	0.79	0.2852	1.11	0.3665
0.16	0.0636	0.48	0.1844	0.80	0.2881	1.12	0.3686
0.17	0.0675	0.49	0.1879	0.81	0.2910	1.13	0.3708.
0.18	0.0714	0.50	0.1915	0.82	0.2939	1.14	0.3729
0.19	0.0753	0.51	0.1950	0.83	0.2967	1.15	0.3749
0.20	0.0793	0.52	0.1985	0.84	0.2995	1.16	0.3770
0.21	0.0832	0.53	0.2019	0.85	0.3023	1.17	0.3790
0.22	0.0871	0.54	0.2054	0.86	0.3051	1.18	0.3810
0.23	0.0910	0.55	0.2088	0.87	0.3078	1.19	0.3830
0.24	0.0948	0.56	0.2123	0.88	0.3106	1.20	0.3849
0.25	0.0987	0.57	0.2157	0.89	0.3133	1.21	0.3869
0.26	0.1026	0.58	0.2190	0.90	0.3159	1.22	0.3883
0.27	0.1064	0.59	0.2224	0.91	0.3186	1.23	0.3907
0.28	0.1103	0.60	0.2257	0.92	0.3212	1.24	0.3925
0.29	0.1141	0.61	0.2291	0.93	0.3238	1.25	0.3944
0.30	0.1179	0.62	0.2324	0.94	0.3264
0.31	0.1217	0.63	0.2357	0.95	0.3289

Продолжение приложения

x	Ф(x)	x	Ф(x)	x	Ф(x)	x	Ф(x)
1.26	0.3962	1.59	0.4441	1.92	0.4726	2.50	0.4938
1.27	0.3980	1.60	0.4452	1.93	0.4732	2.52	0.4941
1.28	0.3997	1.61	0.4463	1.94	0.4738	2.54	0.4945
1.29	0.4015	1.62	0.4474	1.95	0.4744	2.56	0.4948
1.30	0.4032	1.63	0.4484	1.96	0.4750	2.58	0.4951
1.31	0.4049	1.64	0.4495	1.97	0.4756	2.60	0.4953
1.32	0.4066	1.65	0.4505	1.98	0.4761	2.62	0.4956
1.33	0.4082	1.66	0.4515	1.99	0.4767	2.64	0.4959
1.34	0.4099	1.67	0.4525	2.00	0.4772	2.66	0.4961
1.35	0.4115	1.68	0.4535	2.02	0.4783	2.68	0.4963
1.36	0.4131	1.69	0.4545	2.04	0.4793	2.70	0.4965
1.37	0.4147	1.70	0.4554	2.06	0.4803	2.72	0.4967
1.38	0.4162	1.71	0.4564	2.08	0.4812	-2.74	0.4969
1.39	0.4177	1.72	0.4573	2.10	0.4821	2.76	0.4971
1.40	0.4192	1.73	0.4582	2.12	0.4830	2.78	0.4973
1.41	0.4207	1.74	0.4591	2.14	0.4838	2.80	0.4974
1.42	0.4222	1.75	0.4599	2.16	0.4846	2.82	0.4976
1.43	0.4236	1.76	0.4608	2.18	0.4854	2.84	0.4977
1.44	0.4251	1.77	0.4616	2.20	0.4861	2.86	0.4979
1.45	0.4265	1.78	0.4625	2.22	0.4868	2.88	0.4980
1.46	0.4279	1.79	0.4633	2.24	0.4875	2.90	0.4981
1.47	0.4292	1.80	0.4641	2.26	0.4881	2.92	0.4982
1.48	0.4306	1.81	0.4649	2.28	0.4887	2.94	0.4984
1.49	0.4319	1.82	0.4656	2.30	0.4893	2.96	0.4985
1.50	0.4332	1.83	0.4664	2.32	0.4898	2.98	0.4986
1.51	0.4345	1.84	0.4671	2.34	0.4904	3.00	0.49865
1.52	0.4357	1.85	0.4678	2.36	0.4909	3.20	0.49931
1.53	0.4370	1.86	0.4686	2.38	0.4913	3.40	0.49966
1.54	0.4382	1.87	0.4693	2.40	0.4918	3.60	0.49984
1.55	0.4394	1.88	0.4699	2.42	0.4922	3.80	0.49992
1.56	0.4406	1.89	0.4706	2.44	0.4927	4.00	0.49996
1.57	0.4418	1.90	0.4713	2.46	0.4931	4.50	0.49999
1.58	0.4429	1 1.91	0.4719	2.48	0.4934	S 5.00	0.49999

Татьяна Владимировна Калашникова

Дата добавления: 2015-05-09