Парная регрессия и корреляция как частный случай множественной регрессии и корреляции

Показатели качества регрессии.

Предпосылки метода наименьших квадратов

Регрессионный анализ позволяет определить оценки коэффициентов регрессии. Но сами оценки не позволяют сделать вывод, о том, насколько точно эмпирическое уравнение регрессии соответствует уравнению для всей совокупности, насколько близки оценки параметров b0 и b1 - коэффициентов к своим теоретическим значениям β0 и β1, как близко оцененное значение yi к условному математическому ожиданию M (Y(X = xi,), насколько надежны найденные оценки. Для ответа на эти вопросы нужны дополнительные исследования.

Значения yi зависят от значений xi и случайных отклонений εi. Значит, переменная Y является СВ, напрямую связанной с εi. До тех пор, пока не будет определенности в вероятностном поведении εi, мы не можем быть уверенными в качестве оценок.

Известно, что для получения по МНК наилучших результатов требуется, чтобы выполнялся ряд предпосылок относительно случайного отклонения.

Система показателей качества Регрессии.

Показатели качества параметров Регрессии:

1. Стандартные ошибки оценок (анализ точности

определения оценок).

2. Значения t-статистик (проверка гипотез

относительно коэффициентов регрессии).

3. Интервальные оценки коэффициентов

линейного уравнения регрессии.

4. Доверительные области для зависимой переменной.

Показатели качества уравнения регрессии в целом: Суть проверки общего качества уравнения регрессии –оценить насколько хорошо эмпирическое уравнение регрессии согласуется со статистическими данными.

По форме проявления взаимосвязей выделяют функциональную (полную) икорреляционную (неполную) связи. Корреляционная связь является частным случаем стохастической связи. В первом случае величине факторного признака строго соответствует одно или несколько значений функции.

Функциональные связи характеризуются полным соответствием между изменением факторного признака и изменением результативной величины и каждому значению признака-фактора соответствуют вполне определенные значения результативного признака. Функциональная зависимость может связывать результативный признак с одним или несколькими факторными признаками. Функциональную связь можно представить уравнением: y_i = f(x_i), где:

· f(x_i) -известная функция связи результативного и факторного признаков;

· y_i -результативный признак (i = 1, …, n);

· x_i -факторный признак.

Стохастическая связь – это связь между величинами, при которой одна из них, случайная величина у, реагирует на изменение другой величины х или других величин х₁,х₂ …х_n (случайных или неслучайных) изменением закона распределения. Это обуславливается тем, что зависимая переменная (результативный признак), кроме рассматриваемых независимых, подвержена влиянию ряда неучтенных или неконтролируемых (случайных) факторов, а также некоторых неизбежных ошибокизмерения переменных. Поскольку значения зависимой переменной подвержены случайному разбросу, они не могут быть предсказаны с достаточной точностью, а только указаны с определенной вероятностью.

Корреляционная связь (которую также называют неполной, или статистической) проявляется в среднем, для массовых наблюдений, когда заданным значениям зависимой переменной соответствует некоторый ряд вероятных значений независимой переменной. Объяснение тому – сложность взаимосвязей между анализируемыми факторами, на взаимодействие которых влияют неучтенные случайные величины. Поэтому связь между признаками проявляется лишь в среднем, в массе случаев. При корреляционной связи каждому значению аргумента соответствуют случайно распределенные в некотором интервале значения функции.

В корреляционных связях между изменением факторного и результативного признака нет полного соответствия. Одновременное воздействие на изучаемый признак большого количества самых разнообразных факторов приводит к тому, что одному и тому же значению признака-фактора соответствует целое распределение значений результативного признака, поскольку в каждом конкретном случае прочие факторные признаки могут изменять силу и направленность своего воздействия.

При сравнении функциональных и корреляционных зависимостей следует иметь в виду, что при наличии функциональной зависимости между признаками можно, зная величину факторного признака, точно определить величину результативного признака. При наличии же корреляционной зависимости устанавливается лишь тенденция изменения результативного признака при изменении величины факторного признака. В отличие от жесткости функциональной связи, корреляционные связи характеризуются множеством причин и следствий, и устанавливаются лишь их тенденции.

По направлению связи бывают прямыми, когда зависимая переменная растет с увеличением факторного признака, и обратными, при которых рост последнего сопровождается уменьшением функции. Такие связи также можно назвать соответственно положительными и отрицательными.

По силе различаются сильные и слабые связи, либо полное их отсутствие. Эта формальная характеристика выражается конкретными величинами и интерпретируется в соответствии с общепринятыми критериями силы связи для конкретных показателей.

33) Вывод формул для параметров парного линейного корреляционного уравнения

Уравнение парной линейной корреляционной связи называется уравнением парной регрессии и имеет вид:

у = а + bх,

где у - среднее значение результативного признака> при определенном значении факторного признака х;

а - свободный член уравнения;

b - коэффициент регрессии, измеряющий среднее отношение отклонения результативного признака от его средней величины к отклонению факторного признака от его средней величины на одну единицу его измерения - вариация у, приходящаяся на единицу вариации х.

Уравнение (8.4) определяется по данным о значениях признаков х и у в изучаемой совокупности, состоящей из п единиц. Параметры уравнения а и b находятся методом наименьших квадратов (МНК).

Исходное условие МНК для прямой линии имеет вид:

Дата добавления: 2015-05-09