Неперервність і диференційованіст Ця функція не має похідної у вказаній точці, оскільки функція не є неперервна в цій точці

Якщо y = ƒ (x) — диференційована в точці a, тоді ƒ також має бути неперервна в точці a. Для прикладу, виберемо точку a і нехай ƒ буде кроковою функцією, що дорівнює 1, для всіх x менших ніж a і дорівнює іншому значенню, скажімо 10, для всіх x, які більші або дорівнюють a. ƒ не має похідної в точці a. Якщо h — від'ємне, тоді a + h знаходиться на нижній сходинці функції, тоді січна лінія від a до a + h дуже круто піднімається вгору і якщо h прямує до нуля тоді нахил лінії прямує до нескінченності. Якщо h додатнє, тоді a + h на верхній сходинці і січна лінія від a до a + h має нахил, що дорівнює нулю. Відповідно січні лінії не утворюють єдиний нахил, отже границя від відношення приростів не існує.Функція абсолютної величини є неперервна, але від неї не можна отримати похідну в точці x = 0, оскільки нахил дотичної наближується до різних значень з різних боків від даної точки.Проте якщо функція неперервна в точці, тоді вона не обов'язково диференційована в цій точці. Наприклад, функція абсолютної величини y = | x | є неперрервною в точці x = 0, але не є диференційована в цій точці. Якщо h додатнє, тоді нахил січної лінії від 0 до h дорівнює одиниці, якщо h від'ємне, тоді нахил січної лінії від 0 до h дорівнює -1. На графіку цю точку видно як «зубець» в точці x = 0. Навіть функції з графіком без «зубців» не є диференційовані в точці де дотична лінія є вертикальна: наприклад функція y = ³√ x не є диференційована в точці x = 0.Підведемо підсумки: щоб отримати похідну від функції ƒ необхідна умова щоб функція ƒ була неперервною, але тільки цього не достатньо.

Більшість функцій, що зустрічаються на практиці мають похідні у всіх точках, або майже у всіх точках. Раніше на початку вивчення математичного аналізу, багато математиків припускали, що неперервна функція диференційована в більшості точок. Для м’яких умов, наприклад якщо маємо монотонну функцію або Ліпщицову функцію це формулювання справедливе. Проте в 1872 Вейерштрас знайшов перший приклад функції, яка неперервна усюди, але не є диференційованою в жодній точці. Ця функція відома як Вейерштрасова. В 1931 році Стефан Банах довів, що множина функцій, які мають похідну хоча б в якійсь точці є множина першої категорії в просторі всіх неперервних функцій.^[1]

Приклад знаходження похідної за визначенням

Нехай є функція y=c, де c — деяка константа. Тоді при будь-якому x₀ та при будь-якому Δx зміна (приріст) функції дорівнюватиме нулю, отже і похідна такої функції дорівнюватиме нулю.

[ред.] Похідні вищих (старших) порядків

Поняття похідної довільного порядку задається рекурентно:

похідна нульового порядку — сама функція.

похідна n-го порядку для натурального n, що більше 0, — похідна похідної (n−1)-го порядку

Іноді замість «похідна n-го порядку» говорять «n-а похідна».

Похідна n-го порядку функції f зазвичай позначається як f ⁽ⁿ⁾(x)

якщо n мале (1, 2, 3) — то використовується відповідна кількість рисок, f′(x), f′′(x), f′′′(x), вимовляється як «еф-штрих від ікс»; про другу — «еф-два-штрихи від ікс».

Можна зустріти історичне позначення похідної за допомогою римської системи числення (перша похідна: f′(x), друга: f^II(x), шістнадцята: f^XVI(x)).

В фізиці також зустрічається позначення похідної другого порядку по часу у вигляді двох крапок над змінною: .

[ред.] Геометричний зміст похідної

Значення похідної функції у точці дорівнює значенню кутового кофіціента дотичної до кривої у точці з абсцисою .

Рівняння дотичної до кривої у точці M() має вигляд:

y=f́(x)=tga

[ред.] Фізичний зміст похідної

Похідна від шляху за часом дорівнює миттєвій швидкості руху матеріальної точки.

Дата добавления: 2015-05-10