Ред.]Доведення. Формулювання теореми

Формулювання теореми

Теорема Лагранжа

Ред.]Зауваження

Формула Лагранжа є частковим випадком формули Коші (1), коли .

У формулі (1) зовсім не обов'язково вважати, що

Якщо функція неперервна на проміжку , диференційована в , то знайдеться принаймні одна точка така, що має місце формула:

.

Ця формула і називається формулою Лагранжа, або формулою про скінченні прирости.

Розглянемо на проміжку наступну допоміжну функцію:

.

Перевіримо, що для функції виконані всі умови теореми Ролля. І справді, неперервна на проміжку (як різниця функції та лінійної функції) та в усіх внутрішніх точках проміжка має похідну:

.

З формули (1) очевидно, що .

Згідно з теоремою Ролля на проміжку знайдеться точка така, що

З рівності (2) витікає формула Лагранжа. Слід відзначити, що не обов'язково вважати

Дата добавления: 2015-05-10