Диференційовна функція

Нехай функція визначена в деякому околі точки і нехай . Функція називається диференційовною в точці (англ. differentiable), якщо приріст можна представити у вигляді:

.

де:

— стала. При фіксованій A не залежить від ; але, при зміні , взагалі кажучи, A також змінюється,

при .

Лінійна функція (від ) називається диференціалом функції в точці і позначається , або, коротше .

Таким чином:

при ,

.

[ред.]Властивості

Для того, аби функція була диференційовна в деякій точці , необхідно і достатньо щоб вона мала похідну в цій точці, при чому, в цьому випадку:

.

Якщо функція диференційовна в деякій точці, то вона також є неперервною в цій точці.

Теоре́ма Ро́лля — теорема, що стверджує, що між двома рівними значеннями диференційовної функції обов'язково лежить нуль похідної цієї функції.

Формулювання

Нехай функція неперервна на проміжку , диференційована в усіх внутрішніх точках проміжку . Нехай, окрім того, . Тоді на проміжку знайдеться принаймні одна точка така, що значення похідної у цій точці дорівнює нулю.

[ред.]Доведення

Оскільки функція неперервна на проміжку , то, згідно з другою теоремою Вейєрштрасса, ця функція досягає на ньому свого максимального значення та мінімального значення . Отже, маємо два випадки:

1. ;

2. ;

В першому випадку . Тому похідна дорівнює нулю в будь-якій точці проміжка .

У випадку, коли , оскільки , можна стверджувати, що хоча б одне з двох значень чи досягається функцією в деякій внутрішній точці проміжка . Але тоді функція має у точці локальний екстремум. Оскільки функція диференційовна в точці , то за означенням екстремуму, .

[ред.]Геометричний зміст теореми

Теорема має простий геометричний зміст: якщо кінцеві ординати кривої рівні, то, згідно з теоремою Ролля, на цій кривій знайдеться точка, у якій дотична до кривої паралельна до осі .

Дата добавления: 2015-05-10