Ред.]Доведення

Формулювання теореми

Теорема Коші про середнє значення

Якщо кожна з двох функцій та неперервна на проміжку та диференційовна в усіх внутрішніх точках цього проміжка і якщо, окрім того, похідна відмінна від нуля скрізь у проміжку , то на цьому проміжку знайдеться точка така, що має місце формула:

.

Формулу (1) називають узагальненою формулою скінченних приростів, або формулою Коші.

Перш за все покажемо, що . І справді, якщо б це було не так, то для функції на проміжку були б виконані умови теореми Ролля. Тоді б на проміжку знайшлася б точка така, що . Останнє протирічить умові теореми. Отже, , і ми маємо право розглянути наступну допоміжну функцію:

В силу умов, які накладено на функції та , функція неперервна на проміжку та знайдеться точка така, що

Маючи на увазі те, що

,

і використовуючи рівність (3) отримаємо:

Враховуючи, що з рівності (4) отримуємо формулу Коші:

Теормему доведено.

Дата добавления: 2015-05-10