Неравенство Чебышева для доли или частости (неравенство Бернулли)

Теорема Чебышева.

Теорема Чебышева об устойчивости среднего арифметического.

перейдем к переделу в обеих частях неравенства при

Правая часть формулы 4 стремится к 1, а левая не может быть больше 1, т.к. является вероятностью. Тогда в переделе получаем равенство:

(6)

, т.е. говорят, что среднее арифметическое случайной величины сходится по вероятности среднего арифметического их математических ожиданий.

При достаточно большом n практически достоверно, что среднее арифметическое случайной величины сколь угодно мало отличается от среднего арифметического их математических ожиданий (устойчивость среднего арифметического).

Применим неравенство 4 для случайной величины →

(7)

Замечание:

По неравенству 7 можно оценить либо вероятность P, либо отклонение ε, либо число испытаний n (см. аналогичные задачи 2-е следствие из интегральной теоремы Муавра-Лапласа).

Пример:

Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,3. произведено 100 выстрелов. Оценить вероятность того, что процент попадания будет заключен в пределах от 25% до 35%. Уточнить результат с помощью следствия из интегральной теоремы Муавра-Лапласа.

Дано:

Используя формулу 7 →

Ответ:

С вероятностью не менее, чем 0,16 можно утверждать, что процент попадания будет заключен в пределах от 25% до 35%.

Вывод: полученный результат не противоречит, а уточняет предыдущую оценку.

Пример:

В условиях предыдущей задачи оценить количество выстрелов, чтобы с вероятностью не меньше чем 0,8 можно было гарантировать отклонение ε = 0,05.

Дано:

Ответ: Нужно произвести не менее 420 выстрелов, чтобы с вероятностью не менее 0,8 гарантировать отклонение ε = 0,05.

Дата добавления: 2015-05-26