Невласні інтеграли

Приклад 40.

Метод інтегрування частинами у визначеному інтегралі

Приклад 39.

Обчислити визначені інтеграли методом підстановки:

а) ; б) ; в) .

Розв’язок.

а)

.

б)

.

в)

.

Якщо функції і мають неперервні похідні на відрізку , то формула інтегрування частинами має вигляд:

.

Обчислити визначені інтеграли методом інтегрування частинами:

а) ; б) .

Розв’язок.

а)

.

б)

.

Визначений інтеграл , у якому проміжок інтегрування – скінченний, а підінтегральна функція – неперервна на відрізку , називається власним інтегралом.

Невласним інтегралом називається визначений інтеграл від неперервної функції, але з нескінченним проміжком інтегрування або визначений інтеграл з скінченним проміжком інтегрування, але від функції, що має на ньому нескінченний розрив. Відповідно, розрізняють невласні інтеграли I роду (з нескінченними межами) і II роду (інтеграл від розривної функції).

Невласним інтегралом першого роду неперервної на інтервалі функції називається скінченна границя .

Таким чином, за визначенням:

.

Якщо границя, яка знаходиться в правій частині рівності існує і скінченна, то невласний інтеграл збігається, у противному випадку – розбігається.

Аналогічно визначається невласний інтеграл на інтервалі :

.

Невласний інтеграл із двома нескінченними межами (на інтервалі ) розбивається на два за формулою:

, де – довільне число.

Такий інтеграл збігається лише тоді, коли збігаються обидва інтеграли на які він розбивається.

Дата добавления: 2015-05-26