Поток тепла через элементарный объем

Вывод уравнения теплопроводности

Вывод дифференциального уравнения сделаем упрощенным методом [4]. Предположим, что имеется одномерное температурное поле (тепло распространяется в одном направлении, например в направлении оси x). Термические коэффициенты считаем независимыми от координат и времени.

Выделим в однородной и изотропной неограниченной пластине элементарный параллелепипед, объем которого равен dxdydz (Рис. 1). Количества тепла, втекающего через левую грань dydz в параллелепипед в единицу времени, равно , а количества тепла, вытекающее через противоположную грань в единицу времени, равно .

Рис. 1. Поток тепла через элементарный объем

(1.1)

Величина есть неизвестная функция x. Если ее разложить в ряд Тейлора и ограничиться двумя первыми членами ряда, то можно написать:

Тогда из равенства (1.1) будем иметь:

Применяя уравнение теплопроводности , получим

или

(1.2)

Уравнение (1.2) есть дифференциальное уравнение теплопроводности для одномерного потока тепла. Если тепло распространяется по нормали к изометрическим поверхностям, то вектор q можно разложить на три составляющие по координатным осям. Количество аккумулированного элементарным объемом тепла будет равно сумме

Тогда дифференциальное уравнение примет вид

(1.3)

где - оператор Лапласа.

Иногда внутри тела имеются источники тепла. Источники тепла могут быть положительными и отрицательными. В качестве примера отрицательного источника тепла можно считать испарение влаги внутри материала при нагревании. Пусть удельная мощность (количество поглощаемого или выделяемого тепла в единицу времени и в единице объема тела) этих источников будет равна (Вт/м³). Тогда количество тепла, выделяемого в элементарном объеме в единицу времени, будет равно ; это количества тепла, чтобы сохранить равенство (1.1). После аналогичных преобразований дифференциальное уравнение теплопроводности с источниками тепла будет иметь вид

(1.4)

Дата добавления: 2015-05-26