Пересечение прямой с плоскостью. Условие принадлежности прямой плоскости

Угол между прямой и плоскостью.

Основные задачи.

Прямая и плоскость в пространстве.

Углом между прямой и плоскостью будем называть угол, образованный прямой и её проекцией на плоскость. Пусть прямая и плоскость заданы уравнениями , .

Рассмотрим векторы и . Если угол между ними острый, то он будет , где φ – угол между прямой и плоскостью. Тогда .

Если угол между векторами и тупой, то он равен . Следовательно, . Поэтому в любом случае . Вспомнив формулу вычисления косинуса угла между векторами, получим .

Прямая и плоскость перпендикулярны тогда и только тогда, когда направляющий вектор прямой и нормальный вектор плоскости коллинеарны, т.е. .

Прямая и плоскость параллельны тогда и только тогда, когда векторы и перпендикулярны, то есть .

Пусть требуется найти точку пересечения прямой

(8)

с плоскостью

. (9)

Для этого надо решить систему уравнений (8) и (9). Проще всего это сделать, записав уравнения прямой (8) в параметрическом виде:

Подставляя эти выражения для х, у и z в уравнение плоскости (9), получаем уравнение или

. (10)

Если прямая L не параллельна плоскости, т. е. если , то из равенства (10) находим значение t:

.

Подставляя найденное значение t в параметрические уравнения прямой, найдем координаты точки пересечения прямой с плоскостью.

Рассмотрим теперь случай, когда :

а) если , то прямая L параллельна плоскости и пересекать ее не будет (уравнение (10) решения не имеет);

б) если , то уравнение (10) имеет вид ; ему удовлетворяет любое значение t, любая точка прямо является точкой пересечения прямой и плоскости. Заключаем: прямая лежит в плоскости. Таким образом, одновременное выполнение равенств

является усло вием принадлежности прямой плоскости.

Дата добавления: 2015-05-29