Дифференциальное уравнение теплопроводности

Градиент температуры - вектор, направленный по нормали к изотермической поверхности в сторону возрастания температуры и численно равный производной от температуры по этому направлению.

Способы переноса теплоты.

Pv-диаграмма водяного пара.

Всего существует три простых (элементарных) вида передачи тепла:

• Теплопроводность
• Конвекция
• Тепловое излучение

Существуют также различные виды сложного переноса тепла, которые являются сочетанием элементарных видов. Основные из них:

• теплоотдача (конвективный теплообмен между потоками жидкости или газа и поверхностью твёрдого тела);
• теплопередача (теплообмен от горячей жидкости к холодной через разделяющую их стенку);
• конвективно-лучистый перенос тепла (совместный перенос тепла излучением и конвекцией);
• термомагнитная конвекция

Совокупность значений температуры в данный момент времени для всех точек изучаемого пространства называется температурным полем:

t = f(x,y,z,τ),

где:t –температура тела;
x,y,z -координаты точки;
τ - время.

Изотермической поверхностью называется геометрическое место точек в температурном поле, имеющих одинаковую температуру.

21)Тепловой поток — количество теплоты, переданное через изотермическую поверхность в единицу времени. Тепловой поток измеряется в ваттах или ккал/ч (1 вт = 0,86 ккал/ч). Тепловой поток, отнесённый к единице изотермической поверхности, называется плотностью теплового потока или тепловой нагрузкой; обозначается обычно q, измеряется в Вт/м² или ккал/(м²×ч). Плотность теплового потока — вектор, любая компонента которого численно равна количеству теплоты, передаваемой в единицу времени через единицу площади, перпендикулярной к направлению взятой компоненты.

Перенос энергии от более нагретых участков тела к менее нагретым в результате теплового движения и взаимодействия составляющих его частиц, приводит к выравниванию температуры тела. Обычно количество переносимой энергии, определяемое как плотность теплового потока, пропорционально градиенту температуры - закон Фурье. Коэффициент пропорциональности называют коэффициентом теплопроводности.
Закон Фурье применим для описания теплопроводности газов, жидкостей и твердых тел, различие будет только в коэффициентах теплопроводности.

Это уравнение называется дифференциальным уравнением теплопроводности или уравнением Фурье и лежит в основе математической теории теплопроводности. Коэффициент темп-ти a является физическим параметром вещества. Из уравнения следует, что изменение температуры во времени для любой точки тела пропорционально величине a.

Так как дифференциальное уравнение теплопроводности выведено на основе общих законов физики, то оно описывает явление теплопроводности в самом общем виде. Поэтому можно сказать, что полученное дифференциальное уравнение описывает целый класс явлений теплопроводности. Чтобы из бесчисленного количества выделить конкретно рассматриваемый процесс и дать его полное математическое описание, к дифференциальному уравнению необходимо присоединить математическое описание всех частных особенностей рассматриваемого процесса. Эти частные особенности, которые совместно с дифференциальным уравнением дают полное математическое описание конкретного процесса теплопроводности, называются условиями однозначности или краевыми условиями. Условия однозначности включают в себя:
◊ геометрические условия, характеризующие форму и размеры тела, в которых протекает процесс;
◊ физические условия, характеризующие физические свойства среды и тела;
◊ временные (начальные) условия, характеризующие распределение температур в изучаемом теле в начальный момент времени;
◊ граничные условия, характеризующие взаимодействие рассматриваемого тела с окружающей средой.

23) Теплопроводность через плоскую стенку при граничных условиях первого рода.(можно скатать еще начало 24 билета,про 3 вида)

Рис.Однородная плоская стенка

Рассмотрим однородную плоскую стенку толщиной δ. На наружных поверхностях стенки поддерживаются постоянные температуры t_с1 и t_с2. Коэффициент теплопроводности стенки постоянен и равен λ. При стационарном режиме () и отсутствии внутренних источников теплоты (q_v =0) дифференциальное уравнение теплопроводности примет вид:

.

При заданных условиях температура будет изменяться только в направлении, перпендикулярном плоскости стенки (ось Оx). В этом случае

,

и дифференциальное уравнение теплопроводности перепишется в виде:

.

Для определения плотности теплового потока, проходящего через стенку в направлении оси Оx, воспользуемся законом Фурье, согласно которому .

Учитывая, что , получим

.

Общее количество теплоты, которое передается через поверхность стенки F за время τ,

.

Отношение называют тепловой проводимостью стенки, обратную ей величину - термическим сопротивлением теплопроводности. Поскольку величина λ зависит от температуры, в уравнения необходимо подставить коэффициент теплопроводности λ_с, взятый при средней температуре стенки.

Дата добавления: 2015-05-26