Кванторы всеобщности и существования

Важнейшее место в количественной социологии отводится математике, в математике же большую роль играют утверждения о всеобщности данного свойства и о существовании хотя бы одного объекта, обладающего данным свойством. Для записи этих утверждений вводятся так называемые кванто­ры: квантор всеобщности и квантор существования , — по предложению знаменитого математика Геора Кантора (1845—1918), который перевернул две первые буквы в английских словах All (все, всякий, любой) и Exist (существо­вать) на 180°. Слово «квантор» составлено из латинского корня quant (коли­чество) и франкоязычного суффикса «ор», встречающегося, в частности, в словах «кондуктор» (тот, кто ведет, водитель), «квалификатор» (тот, кто оп­ределяет качество), «экзекутор» (тот, кто исполняет, исполнитель) и т.п. Так что «квантор» — тот, кто определяет количество¹². В логике и математике кванторы — логические эквиваленты слов «все», «каждый» и т.п. (кванторы общности), «некоторый», «существует» (кванторы существования) и др.; операторы, формализующие в исчислении предикатов логические свойства этих выражений. Кванторы употребляются в исчислении предикатов — раз­деле математической логики, посвященном аксиоматизации логики преди­катов, в том числе с использованием кванторов.

Кванторы называют логическими операторами, логическими связками, логическими приставками. Кванторы — операции в логике высказываний, справедливость которых зависит от значения некоторого аргумента (такие высказывания называют предикатами, они являются аналогом функций, но с множеством значений «истина — ложь»).

Специальное выражение, заимствованное из научного сленга, — «навеши­вание кванторов» — обозначает операцию связывания переменных (в том числе социологических) кванторами. При помощи такого рода действия происхо­дит построение высказываний. Выражение «для всехХ» («длялюбогоX») назы­вается квантором всеобщности и обозначается символом: . Выражение «су­ществует X такое, что...» называется квантором существования и обознача­ется символом:

Переменная, входящая в высказывание под знаком квантора, называется связанной переменной, ибо высказывание от этой переменной не зависит, подобно тому как сумма

не зависит от индекса /. Связанную переменную можно заменить любой дру­гой буквой, не совпадающей с остальными переменными, и от этого смысл высказывания не изменится. Переменная, которая не является связанной, называется свободной. Высказывание зависит только от свободных перемен­ных, которые оно содержит. Приписывание квантора превращает высказы­вание в новое высказывание, которое содержит на одну свободную перемен­ную меньше¹³.

Сушков В.И. Эпсилон-дельта определение Коши для «предела функции (отображения)» // http:// _|} spbstu.ru/phmech/math/persons/p0079000/limit.html Турчин В.Ф. Феномен науки // http://www.refal.ru/turchin/pheN9meNon/chapter06.htm

Независимо от того, какую формулировку мы давали тем или другим суж­дениям, суждения и с квантором всеобщности, и с квантором существова­ния описывают некий класс явлений, например всех ворон. Совокупность всех ворон — это один класс явлений, совокупность всех бедных — это дру­гой класс явлений. Квантор всеобщности охватывает весь класс без исклю­чения, а суждения с квантором существования — только часть его.

Например, в теоретическом суждении: «Плотность населения тем боль­ше, чем выше урожайность пшеницы», говорится о некоем законе или за­висимости между двумя факторами — плотностью населения и урожайно­стью. Рассмотрим другое суждение: «В стране D урожайность 16 ц с гекта­ра и плотность населения 30 человек на 1 км², а в стране R урожайность 8 ц с гектара и плотность населения — 15 человек на 1 км²». Ясно, что второе суждение — эмпирическое. В нем говорится о двух конкретных странах и приводятся конкретные цифры.

Для того чтобы из первого суждения вывести второе, нужно сравнить не две страны, а десятки стран, имеющих разную плотность населения и раз­ную урожайность сельскохозяйственных культур. Желательно рассмотреть все страны, чтобы исчерпать весь класс эмпирических фактов и чтобы не осталось сомнений в том, что пропущена какая-либо страна, где зависимость между этими факторами иная. Когда вы проделаете подобную процедуру и удостоверитесь, что изучен весь класс явлений, вы можете обобщить свои наблюдения, констатировав, что всякий раз, когда урожайность высокая, высокой является и плотность населения. Хорошо, если ваше множество включает 8—10 стран. А если их 200—300? Тогда теоретическое обобщение отодвинется во времени. Оно все равно будет выведено, но лишь после того, как вы рассмотрите все эмпирические факты.

Некоторые классы эмпирических явлений столь огромны, что социологу может не хватить целой жизни для их изучения, например мнение о войне женщин Земли. В таких ситуациях применяется выборочное обследование, т.е. опрос типичных представителей данного множества. Специальные ма-тематико-статистические процедуры помогут социологу отобрать именно типичных, а не исключительных представителей.

Научная теория создается на базе строгих положений о том, какие иссле­дования мы будем проводить, кого опрашивать, какие связи существуют между этими явлениями, в каких целях будут опрашиваться респонденты. Таким образом, мы переходим в область научной теории. Идеалом для лю­бой науки (естественной и социальной) является построение теории с квантором всеобщности, или универсальными утверждениями. Например: «Все люди живут в обществе», «Все женщины, вступая в брак, предпочита­ют партнера с высшим образованием». Они обозначаются логическим опе­ратором Vx (квантор всеобщности).

Все теоретические суждения ученого о социальном мире позже выносят­ся на суд эмпирической реальности, где они частично или полностью либо подтверждаются, либо не подтверждаются. Чтобы повысить степень возмож­ности подтверждения своих суждений, ученый проявляет осторожность, т.е. не спешит делать широкие обобщения, например говорит не о всех людях, не о всех пенсионерах или женщинах, а, допустим, о работающих пенсио­нерах-мужчинах в возрасте 65—70 лет, проживающих в городе, или о разве­денных женщинах, имеющих одного ребенка дошкольного возраста. Выбрав

Дата добавления: 2015-06-04