Випадок, коли складові лежать в площині

1. Якщо для сили задані напрями та , вздовж яких діють складові; кут між напрямами , та кут , що утворює сила з одним із напрямів (рис. 1.7).

1.1. Через кінець вектора креслять прямі, паралельні цим напрямам до перетину з та (рис. 1.7, б);

1.2. На визначених таким чином сторонах паралелограма отримують складові сили ( та ), початок яких співпадає з точкою прикладання сили (рис. 1.7, в). Модулі складових сили знаходять за теоремою синусів (1.2), скористувавшись тим, що відома сторона R лежить проти кута 180° – , (нагадаємо, що ), а кут .

2. Якщо для сили задана одна складова (відомий її модуль та напрям – кут , який вона утворює з вектором - рис. 1.8, а), то для того, щоб визначити невідому складову , треба спочатку побудувати вектор, який з’єднає кінець вектора з кінцем вектора (рис. 1.8, б), та паралельно перенести так, щоб сумістити його початок з початком вихідного вектора - точкою А
(рис. 1.8, в). Отриманий вектор з початком у точці А і буде другою складовою заданого вектора .

Модуль вектора визначається за теоремою косинусів для трикутників

, (1.9)

а його напрям – кут – за допомогою теореми синусів, оскільки

(1.10)

У випадку декартової системи координат
(рис. 1.9) складові знаходимо за першим методом. Алгебраїчні проекції вихідної сили на вісі x та y очевидні:

, (1.11)

. (1.12)

Випадок, коли складові мають просторову орієнтацію.

У більшості випадків ми маємо справу з декартовою системою координат. В цьому випадку прямі, на які проектуємо сили взаємно перпендикулярні. Тому обмежимося розглядом знаходження складових у декартовій системі координат. Для зручності початок координат розташовуємо у точці прикладання сили.

Графічний метод. Розкладаємо вектор на дві складові: одна з яких лежить в площині , а друга - перпендикулярна. Далі складову розкладемо ще на дві складові по координатним осям та (рис. 1.10). В результаті отримаємо три геометричні проекції вектора на координатні вісі.

Знайдені складові задовольняють умові

= . (1.13)

Аналітичні методи. Формули, за якими розраховуються складові, визначаються способом, який задає орієнтацію вектора по відношенню до декартових осей.

1. Знаходження складових коли положення вектора визначено кутом між та та кутом - між (проекцією на площину ) та віссю (рис. 1.10).

Тоді для модуля проекції вектора на площину отримуємо

. (1.14)

Далі складову розкладемо на складові та по осям та
(рис. 1.10), модулі яких будуть:

(1.15)

(1.16)

Остання складова, яка перпендикулярна до , має модуль

. (1.17)

Складові , та зв’язані з модулем теоремою Піфагора

. (1.18)

2. Знаходження складових коли напрям векторазаданий трьома кутами по відношенню до декартової системи координат.

Нехай вектор сили спрямований вздовж лінії АВ, орієнтація якої задана кутами , та з додатними напрямами осей координат (рис. 1.1).

Побудуємо паралелепіпед, для якого лінія АВ є його головною діагоналлю (рис. 1.1).

Здійснимо переміщення з точки у точку шляхом трьох векторних переміщень , та , які мають напрями ребер прямокутного паралелепіпеда (рис. 1.12), тоді

. (1.19)

Одиничний вектор (рис.1.12), який визначає напрям дії сили , знайдемо з виразу:

(1.20)

Величини , , називаються напрямними косинусами, які повністю визначають напрям вектора , отже орієнтацію сили у декартовій системі координат.

Зауважимо, що кути зв’язані умовою

, (1.21)

що є наслідком формули (1.20).

Як заключний крок, скористаємося формулою (1.20) і представимо вектор сили наступним чином

(1.22)

Дата добавления: 2015-06-04