Методики визначення моменту сили відносно точки

Контрольні запитання

1. Що називається моментом сили відносно точки? Що він характеризує?

2. В яких одиницях вимірюється момент сили?

3. Як визначається напрям моменту сили відносно точки?

4. Вкажіть методи обчислення модуля вектора моменту сили відносно точки.

5. Що таке плече сили?

6. Як змінюється момент сили відносно точки, якщо точка прикладання сили зміщується вздовж лінії її дії?

7. Як знайти алгебраїчне значення моменту сили відносно точки?

8. У яких випадках момент сили відносно точки дорівнює нулю?

В площині, яка визначається лінією дії сили та точкою , розташовуємо декартову систему координат, наприклад, .

1. Графічний метод: в обраному масштабі на площині позначаємо точку прикладання сили та точку , відносно якої треба визначити момент сили. Користуючись транспортиром, з точки будуємо вектор під відповідним кутом до вісі , який відкладаємо проти руху стрілки годинника. З точки опускаємо перпендикуляр на лінію дії сили та вимірюємо плече сили . Знаходимо алгебраїчне значення моменту сили відносно точки за формулою .

2. Аналітичні методи:

2.1. Через плече сили. Визначаємо рівняння лінії, вздовж якої діє сила

, (3.12)

де – тангенс кута нахилу лінії дії сили до осі .

Після цього знаходимо плече сили – віддаль точки до лінії, вздовж якої діє сила за формулою

, (3.13)

та визначаємо момент сили – відносно точки за формулою (3.6)

.

2.2. Як векторний добуток векторів та . Визначаємо складові сили
= та радіус–вектора = , який проведено з точки до точки прикладання сили.

При цьому , а , і обчислюємо момент сили відносно точки користуючись формулою (3.4) для конкретного випадку

(3.14)

Отже, момент сили перпендикулярний до площини, в який лежать вектори та .

2.3. Використовуючи теорему Варіньона. Момент сили відносно точки знаходимо як суму моментів її складових

= , (3.15)

де та обчислюємо як у пункті 2.2, а знаки ”+” чи ”–” обираємо згідно вказаному правилу визначення знаку моменту сили (дивись формулу 3.6), беручи до уваги можливий напрям обертання твердого тіла під дією кожної складової навколо заданої точки В.

Приклад. Знайти момент сили = 52 Н, що прикладена до твердого тіла в точці з координатами (2, –5) у площині відносно точки (7, –2) та відносно точки - початку координат (координати задані в метрах). Сила утворює кут = 60° з додатним напрямом вісі .

Задачу розв’язати наступними методами:

1) графічно – зобразити дані задачі в декартовій системі координат у масштабі для : 1 см = 1м і визначити алгебраїчне значення моменту сили як добуток сили на плече ;

2) аналітично наступними методами:

а) як добуток сили на плече (записати рівняння прямої, вздовж якої діє сила, та обчислити відповідне плече сили);

б) склавши та обчисливши матрицю для векторного добутку ;

в) використовуючи теорему Варіньона, як суму моментів складових сили.

Розв’язання.

Графічний метод. Накреслимо координатну площину у заданому масштабі, позначимо на ній точку прикладення сили . Проведемо в точці пряму, яка паралельна осі , та під кутом = 60°, проведемо лінію, вздовж якої діє сила. Позначимо на цій лінії вектор сили у зручному масштабі (рис. 3.3).

Із точки опускаємо перпендикуляр на лінію дії сила, вимірюємо довжину плеча сили = 2,8 м та знаходимо алгебраїчне значення моменту = – 52·2,8 = –146 Н∙м, бо сила намагається повертати тіло відносно точки за напрямом руху стрілки годинника.

Аналогічно знаходимо – момент цієї сили відносно точки . Вимірювання дають = 4,2 м. Тоді = +52·4,2 = +220 Н∙м, оскільки сила намагається повертати тіло відносно точки проти руху стрілки годинника.

Аналітичні методи:

а) Запишемо рівняння прямої, що проходить через точку вздовж вектора сили

.

Тут та – координати точки, через яку проходить пряма лінія, а
= tg – кутовий коефіцієнт прямої. В нашому випадку = 2, = – 5,
= tg 60° = = 1,73, тому рівняння прямої набуває вигляду

.

Визначимо момент сили відносно точки - початку координат. Для визначення плеча сили відносно початку координат отримуємо

= 4,23 м,

та знаходимо = + 52∙4,23 = 220 Н∙м. Беремо знак ”+”, бо сила намагається повертати тіло відносно точки проти руху стрілки годинника.

б) Складемо матрицю (3.10) для визначення моменту сили відносно початку координат. Оскільки (рис. 3.4) , та

= = 52·0,5 = 26 Н,

= = 52·0,866 = 45 Н,

= 0,

тоді .

Таким чином отримуємо

= = =
= (2·45 + 5·26) = 220 H·м.

в) Теорема Варіньона для моменту сили відносно початку координат дає

= 26·5 + 45·2 = 220 Н∙м.

Тепер визначимо момент сили відносно точки В.

а) Відстань від точки до цієї прямої (плече сили ) знаходимо за формулою (3.13)

= = 2,83 м.

Тому алгебраїчне значення моменту сили

= –52·2,83 = –147 H·м.

Знак ”–” беремо тому, що сила, яка прикладена до точки (2, -5), може викликати обертання тіла навколо точки за напрямом руху стрілки годинника (рис. 3.5).

б) Скористаємось означенням моменту сили . Обчислимо компоненти радіус-вектора :

= = 2 – 7 = – 5,

= = –5 – (– 2) = –3,

= 0.

Підставляючи ці дані отримуємо вирази для та :

= , = ,

і знаходимо векторний добуток

= (–5·45 + 3·26) = –147 H·м.

Отриманий результат вказує, що вектор напрямлений перпендикулярно площині від нас (рис. 3.5).

в) Для знаходження моменту сили відносно точки за допомогою теореми Варіньона знайдені компоненти сили помножаємо на відповідні плечі і знаходимо момент, як суму моментів кожного компонента (рис. 3.5)

=

= 26·3– 45·5 = –147 Н·м.

Відповідь: = 220 H·м, вектор моменту сили відносно початку координат спрямований до нас (вздовж осі ), а його величина становить 220 Н·м. = – 147 H·м, вектор моменту сили відносно точки спрямований від нас (проти осі ), а його величина становить 147 Н·м.

Задача С.5. Визначення моменту сили відносно точки

Знайти момент сили відносно точки та початку координат. Сила прикладена до точки , лежить в площині () декартової системи координат та утворює кут з додатним напрямом осі . Величина сили (Н), кут нахилу , координати точок (м) та (м) наведені в таблиці С.5.

Задачу розв’язати графічно та аналітично:

1) графічно – зобразити вектори в декартових координатах у масштабі для : 1 см = 1м та визначити алгебраїчне значення моменту сили як добуток сили на плече ;

2) отримані графічно результати перевірити аналітично наступними методами:

а) визначивши модуль моменту сили як добуток сили на плече (визначивши рівняння прямої, вздовж якої діє сила, та обчисливши плече сили);

б) склавши та обчисливши матрицю для моменту сили як векторного добутку ;

в) скориставшись теоремою Варіньона.

Таблиця С.5 – вихідні дані для розв’язання задачі С.5.

№						№
			(-1; 5)	(1;8)					(-1; 3)	(3; 8)
			(2; 5)	(-6; 3)					(1; -3)	(2; -9)
			(2; 4)	(4; 6)					(3; -2)	(8; -1)
			(-1; 3)	(2; 7)					(3; 1)	(2; 8)
			(2; -4)	(3; -8)					(1; 5)	(-2; 7)
			(1; -5)	(8; 2)					(2; 2)	(5; 5)
			(6; 1)	(5; -3)					(1; -3)	(8; -4)
			(-6; 3)	(-7;-1)					(1; -4)	(-4;-1)
			(2; -2)	(8; 1)					(2; -3)	(8; -3)
			(6; -1)	(5; 3)					(3; 4)	(8; 2)
			(1; 5)	(-6; 3)					(1; -3)	(6; -3)

Закінчення таблиці С.5

№						№
			(4; 2)	(4; 8)					(2; -5)	(-7; 0)
			(-2; 3)	(-6; 6)					(-2; 2)	(-5; 5)
			(4; -1)	(4; 6)					(2; -5)	(0; -6)
			(4; 3)	(6; 1)					(-4; 2)	(-3; 6)

Дата добавления: 2015-06-04