Контрольні запитання. Знаходження головного вектора та головного моменту системи сил

Знаходження головного вектора та головного моменту системи сил

Головним вектором довільної системи сил () називається вільний вектор, що дорівнює векторній сумі усіх сил, які входять у систему

= . (6.1)

Головним моментом такої системи сил відносно точки (центру приведення) називається зв’язаний вектор , який дорівнює векторній сумі моментів усіх сил, які входять в систему, відносно того ж центру

. (6.2)

1. Сформулюйте теорему про паралельне перенесення сили (теорему
Пуансо).

2. Що називається головним вектором системи сил?

3. Що називається головним моментом системи сил?

4. Як змінюється головний вектор системи сил відносно нового центру?

5. Як змінюється головний момент системи сил відносно нового центру?

6. Які випадки приведення системи сил вам відомі?

Методика знаходження головного вектора
та головного моменту системи сил:

Для кожної сили користуємося методиками, які описані в § 1 та § 5.

Приклад. Знайти головний вектор (модуль та напрям) та головний момент відносно початку координат (модуль та напрям) системи сил. Сили = 25 Н, = 20 Н, = 30 Н, = 15 Н, прикладені у вершинах прямого паралелепіпеду (рис. 6.1), ребра якого мають розміри:
= 6 м, = 5 м, = 3 м. Вектори та зобразити у декартових координатах у зручних масштабах.

Розв’язання. В нашому випадку

= .

Щоб знайти , визначимо алгебраїчні компоненти головного вектора. Для цього спроектуємо вектори сил , , та на вісі , та . Тоді отримуємо:

, (1)

, (2)

. (3)

Тут – кут між силою та ребром . Тригонометричні функції цього кута знаходимо з прямокутного трикутника , який є подібним до трикутника сил зі сторонами , та :

,

.

Таким чином, компоненти сили визначаються як:

= 15·5/ = 12,86 Н,

= 15·3/ = 7,72 Н.

Підставляючи дані задачі та останні результати в (1) – (3), отримаємо:

= – 30 Н,

= 20 – 12,86 = 7,14 Н,

= – 25 – 7,72 = – 32,72 Н.

Це дозволяє знайти модуль головного вектора системи сил

= = = 44,96 Н.

Напрямні косинуси головного вектора сили знайдемо за формулами:

= – 30/44,96 = – 0,667,

= 7,14/44,96 = 0,159,

= – 32,72/44,96 = – 0,728,

звідки отримуємо = 132º, = 81º, = 137º.

Знайдений вектор зображено на рис. 6.2 (масштаб скорочення по осі 1:2).

Визначимо головний момент системи сил, обчислюючи моменти сил відносно осей. В нашому прикладі = 0, = 0, = 0, бо ці сили перетинають відповідні осі; = 0, = 0, = 0, оскільки ці сили паралельні вказаним осям.

Запишемо вирази для компонентів вектора головного моменту, враховуючи положення та орієнтацію сил (рис. 6.1) і обчислимо їх:

= – 20·3 = – 60 Н·м,

= 25·6 – 30·3 + 7,72·6 = 106,32 Н·м,

= 30·5 – 12,86·6 = 72,84 Н·м.

Модуль головного моменту знайдемо за теоремою Піфагора

= = 142,16 Н·м.

Напрямні косинуси цього вектора знайдемо за формулами:

= – 60/142,16 = – 0,422,

= 106,32/142,16 = 0,748,

= 72,84/142,16 = 0,512,

що дозволяє визначити відповідні кути = 115º, = 42º та = 59º.

Знайдений вектор та його компоненти зображені на рис. 6.3 (масштаб скорочення по осі 1:2).

Відповідь: = – 30 + 7,14 –– 32,72 Н, = 44,96 Н;

= 132º, = 81º, = 137º,

= – 60 + 106,32 + 72,84 Н·м, = 142,16 Н·м;

= 115º, = 42º, = 59º.

Задача С.8. Знаходження головного вектора
та головного моменту системи сил

Сили , , та прикладені до твердого тіла - прямого паралелепіпеду з ребрами , , (рис. 6.4). Розміри паралелепіпеда (м), величини сил (Н) і точки їх прикладення та напрями (перша літера точка прикладання, а друга – напрям) вказані в таблиці С.8. Знайти головний вектор і головний момент цієї системи сил (компоненти цих векторів, їхні модулі та напрямні косинуси).

Зобразити головний вектор та головний момент у декартовій системі координат. Масштаб скорочення осі відносно осей та прийняти як 1:2.

Таблиця С.8 – вихідні дані для розв’язання задачі С.8

№	a	b	c
модуль	напрям.	модуль	напрям.	модуль	напрям.	модуль	напрям.
					EA		BO		LO		SA
					BE		ED		KO		SB
					AS		LE		EA		KL
					LA		OE		OB		KO

Закінчення таблиці С.8

№	a	b	c
модуль	напрям.	модуль	напрям.	модуль	напрям.	модуль	напрям.
					AE		DE		SK		SB
					KB		AL		LD		OE
					OB		BS		SL		BE
					BS		SD		LA		AD
					LO		LD		EA		AB
					KE		BA		AE		EL
					KD		BO		AD		LD
					SL		DL		AD		EO
					DK		BS		BO		EL
					LS		LE		OB		SB
					SA		LD		OB		BA
					DB		KS		OE		AB
					AS		DL		DS		KS
					BD		AE		SK		LK
					SO		AB		LD		KO
					KB		DL		OE		EA
					BK		KL		LE		KS
					EB		LD		BS		SK
					BE		SB		SD		EA
					KE		LD		DA		SB
					EK		BS		AE		EL
					ED		KL		BO		AD
					AL		AB		OK		LK
					DE		BS		SD		AD
					LA		KO		SK		BO
					LS		SA		AD		EO

Дата добавления: 2015-06-04