Методика розв’язання задач. 1. Звільняємо тіло від в’язей, замінюючи їх відповідними реакціями

1. Звільняємо тіло від в’язей, замінюючи їх відповідними реакціями.

2. Невільну конструкцію розглядаємо як вільну, на яку діють зовнішні сили та реакції в’язей.

3. Записуємо рівняння рівноваги системи сил (три рівняння проекцій сил на осі та три рівняння моментів сил відносно цих осей).

4. Розв’язуємо систему і визначаємо реакції.

5. Перевіряємо отримані результати.

Приклад. Дві однорідні тонкі прямокутні пластини та (вага яких та відповідно) з’єднані під прямим кутом (рис. 7.1). На пластини діють сили = 1 кН (лежить в площині , прикладена в точці і утворює кут = 45º з лінією ) та = 2 кН (лежить в площині , прикладена в точці і утворює кут = 30º з лінією ) і пара сил з моментом = 5 кН·м, що лежить в площині . Розміри наступні: = 3 м, = 4 м, = 2 м, = 3 м та ваги плит = 2,4 кН, = 1,2 кН. Система знаходиться в рівновазі, бо закріплена сферичним шарніром в точці , циліндричним шарніром (петлею) в точці та невагомим стрижнем ED з шарнірами в точках та .

Визначити реакції в’язей в точках , та .

Розв’язання. Зображаємо сили, що діють на конструкцію (рис. 7.2). Дві пластини знаходяться в рівновазі під дією заданих зовнішніх сил , , , та моменту пари сил і за рахунок в’язей в точках , та . Відкидаємо в'язі та замінюємо їх реакціями.

Проведемо координатні осі через точку , як зображено на рис. 7.2. Точка , як початок координат, вибрана тому, що в ній збігається найбільша кількість невідомих реакцій, отже моменти цих реакцій дорівнюють нулю.

В точці знаходиться сферичний шарнір, тому виникає реакція , яка має 3 невідомі складові: , , , в точці маємо петлю (циліндричний шарнір), тому виникає реакція , яка має дві невідомі складові: та ; і в точці реакція стрижня ED, яка спрямована вздовж нього (рис. 7.2).

Конструкція знаходиться в рівновазі під дією просторової системи сил, тому можемо записати шість рівнянь рівноваги для невідомих реакцій в’язів , , , , та .

Складемо рівняння рівноваги, які забезпечують рівність нулю головного вектора та головного моменту системи сил, замінивши дію в’язів відповідними реакціями:

= 0, (1)

= 0, (2)

= 0, (3)

= 0, (4)

= 0, (5)

= 0. (6)

Тригонометричні функції кута визначаємо з прямокутного трикутника : = 0,8, = 0,6. Відмітимо, що плечі сил та в рівняннях (4) – (5) легко знаходяться з умови однорідності пластин та .

Розв’язуємо систему лінійних рівнянь (1) – (6).

З рівнянь (1), (4), (5) та (6) безпосередньо знаходимо:

= – 1,707 кН,

= 1,113 кН,

= – 0,599 кН,

= 0,845 кН.

Підставляючи , та в (2) та (3), знаходимо останні невідомі:

= 0,753 кН,

= 1,799 кН.

Оскільки для реакцій та ми отримали від’ємні значення, то це значить, що реакції мають напрями протилежні тим, що зображені на рисунку 7.2.

Для перевірки отриманих результатів перенесемо початок декартової системи координат в точку , зберігаючи напрями осей координат (вісь зберігає свій напрям, а осі та направимо вздовж та паралельно . При цьому рівняння рівноваги (1), (2), (3), які визначають рівність нулю суми проекцій на осі координат, та рівняння (5), яке визначає рівність нулю суми моментів сил відносно осі не змінюються. Запишемо рівняння, які визначають рівність нулю суми моментів сил відносно осей та :

, (7)

. (8)

Підставляючи результати розв'язку задачі в (7) та (8) і отримуємо та з точністю проведених розрахунків. Це свідчить про правильність розв’язку задачі та проведених розрахунків.

Відповідь: = – 1,707 кН, = 0,753 кН, = 1,799 кН,

= 0,854 кН, = – 0,599 кН, = 1,113 кН.

Приклад 2. Просторова конструкція, що зображена на рис. (7.3), знаходиться в рівновазі. Конструкція закріплена в точці сферичним шарніром, в точці - підшипником, в точці - невагомим стрижнем з шарнірами на кінцях.

До конструкції прикладені сили = 30 Н в точці , яка лежить в площині та утворює з віссю кут = 60° та = 50 Н прикладена в точці , яка лежить в площині та утворює з віссю кут або = 45° і момент пари сил = 70 Н·м. Диск має вагу = 40 Н. Вагою інших елементів конструкції знехтувати. Розміри елементів конструкції = 1,4 м; = 0,8 м; = 1,2 м.

Розв’язання. Зображаємо сили, що діють на конструкції (рис. 7.4). Вона знаходиться в рівновазі під дією зовнішніх сил , , та моменту пари сил і за рахунок в’язей в точках , та .

Звільняємо конструкцію від в’язей і заміняємо їх відповідними реакціями. В точці знаходиться сферичний шарнір, тому виникає реакція , яка має 3 невідомі складові: , , . Точка - підшипник, тому виникає реакція , яка має дві невідомі складові та , які знаходяться в площині, перпендикулярній до осі підшипника. В точці виникає реакція стрижня , яка направлена вздовж нього (рис. 7.4).

Умова рівноваги просторової системи сил дає шість наступних рівнянь:

= , (1)

= , (2)

= , (3)

=

, (4)

= , (5)

=

. (6)

Розв’язуємо систему лінійних рівнянь (1) – (6):

з рівняння (5) отримуємо кН;

з рівняння (3) отримуємо кН;

з рівняння (1) отримуємо кН;

з системи рівнянь (4) та (6) отримуємо кН та кН.

Тоді з рівняння (2) отримуємо кН.

Знак „–” при , , , вказує на те, що ці реакції мають напрям протилежний тому, який зображено на рисунку.

Для перевірки отриманих результатів виберемо нову систему координат , , з початком в довільній точці (нехай це буде точка ). Запишемо рівняння, які визначають рівність нулю суми моментів відносно осі та осі .

,

.

Рівність нулю для записаних виразів підтверджує правильність розв'язку задачі.

Відповідь: = – 50,35 кН, = – 169,43 кН, = 138,83 кН,
= 260,77 кН, = 124,81 кН, = – 126,69 кН.

Дата добавления: 2015-06-04