Методика розв’язання задач. Контрольні запитання

Контрольні запитання

1. Що таке центр тяжіння тіла? Як його знайти?

2. Як використовуються методи симетрії та вирізів для визначення центра тяжіння однорідного тіла. Наведіть приклади.

3. Як знайти координати центра тяжіння однорідного стрижня, прямокутника?

4. Як знайти координати центра тяжіння однорідного трикутника?

5. Як знайти координати центра тяжіння дуги кола, сектора?

6. Як знайти координати центра тяжіння однорідного конуса? піраміди?

7. Як врахувати вирізи при розрахунку центра тяжіння тіла?

1. Розбиваємо фігуру на прості елементи, центр тяжіння яких можемо легко визначити.

2. Вибираємо систему координат та обчислюємо довжину (площу чи об’єм) та координати центра тяжіння кожного окремого елемента.

3. Знаходимо координати центра тяжіння фігури за формулою (9.1), беручи до уваги зауваження щодо визначення ваги однорідних тіл. Для плоских та об'ємних фігур вирізані елементи беремо зі знаком мінус.

Приклад 1. Знайти координати центра тяжіння просторової фігури, що складається з однорідних стрижнів (рис. 9.4), якщо = 10 м, = 8 м, = 6 м. Криволінійна ділянка контуру є половиною кола.

Розв’язання. Фігура, для якої потрібно визначити центр тяжіння складається з однорідних лінійних елементів.

Розіб’ємо фігуру на сім елементів (дивись рис. 9.4), довжини та центри тяжіння яких легко визначити, та знайдемо довжину та координати центра тяжіння , , кожного елемента:

= 6 м, = 10 м, = 0 м, = 3 м;

= 10 м, = 5 м, = 0 м, = 6 м;

= 8 м, = 10 м, = 4 м, = 6 м;

= 14,1 м,

= 5 м, = 4 м, = 3 м;

= 6 м, = 10 м, = 8 м, = 3 м;

= 11,7 м,

= 5 м, = 8 м, = 3 м;

= 15,7 м, = 5 м,

= 8 м, = 9,2 м.

Ці результати занесемо в таблицю, куди внесемо також відповідні добутки довжини елемента на координату центра тяжіння (останні три стовпчика).

	, м	, м	, м	, м	, м^2	, м^2	, м^2
	14,1				70,5	56,4	42,3
	11,7				58,5	93,6	35,1
	15,7			9,2	78,5	125,6	144,4
	71,5				457,5	355,6	365,8

Отримані значення дозволяють знайти координати центра тяжіння фігури:

= 457,5/71,5 = 6,4 м,

= 355,6/71,5 = 5,0 м,

= 365,8/71,5 = 5, 1 м.

Відповідь: = 6,4 м, = 5,0 м, = 5, 1 м.

Приклад 2. Знайти координати центра тяжіння просторового тіла, виготовленого з однорідних пластин (рис. 9.5).

Розв’язання. Тіло, для якого потрібно визначити центр тяжіння, складається з однорідних пластин. Тому для координат центра тяжіння тіла з формул (9.1) маємо:

, , .

Розіб’ємо тіло на елементи, площі та координати центра тяжіння яких легко знайти:

1. прямокутник зі сторонами 90 та 70;

2. прямокутний трикутник з катетами 60 та 40 (виріз);

3. прямокутник зі сторонами 90 та 40;

4. половина круга радіусом 30 см;

5. прямокутний трикутник з катетами 30 та 40 (виріз).

Послідовно знайдемо площі та координати центра тяжіння кожної фігури:

= 90·70 = 6300 см²,

= (0 +90)/2 = 45 см,

, = (0 +70)/2 = 35 см;

= 60·40/2 = 1200 см²,

=(90 + 90 + 30)/3 = 70 см, , = (0+0+40)/3 = 13,3 см;

= 90·40 = 3600 см², = 0 см, = (0 + 90)/2 = 45 см,

= (0 + 40)/2 = 20 см;

= 3,14·900/2 = 1413 см², = 0 см, = 30 см,

= 40 + = 52,7 см;

= 30·40/2 = 600 см², = 0 см, = (60 + 90 + 90)/3 = 80 см,

= (0+0+40)/3 = 13,3 см;

Отримані значення та відповідні добутки внесемо у таблицю.

	, см^2	, см	, см	, см	, см^3	, см^3	, см^3
				35,0
	– 1200			13,3	-84000		-15960
				20,0
				52,7
	– 600			13,3		-48000	-7980

Звернемо увагу на те, що площа вирізу (для трикутників 2 та 4) та добуток площі на координату увійшли в розрахунки зі знаком „–”.

Визначаємо координати центра тяжіння фігури за наведеними формулами:

= 199500/9513 = 21,0 см,

= 15390/9513 = 16,4 см,

= 343025/9513 = 36,1 см.

Відповідь: = 21 см, = 16,4 см, = 36,1 см.

Приклад 3. Знайти координати центра тяжіння однорідної просторової фігури (рис. 9.6). Розміри дані в сантиметрах.

Розв’язання. Оскільки тіло, для якого потрібно визначити центр тяжіння є однорідним, то розрахункові формули (9.1) запишемо у вигляді:

, , .

Розіб’ємо тіло на прості фігури, об’єми та положення центра тяжіння яких легко знайти:

1 – прямий паралелепіпед зі сторонами 80х60х60 (рис. 9.7);

2 – пряма призма з основою 80х30 та висотою 60 (рис. 9.8);

3 – піраміда з основою 80х60 та висотою 50 см (рис. 9.10);

4 – половина циліндра радіусом 15 см (рис. 9.9).

Зауважимо, що остання фігура є вирізом, тому в розрахунку її об’єм ввійде зі знаком мінус.

Послідовно визначимо координати центра тяжіння кожної фігури та її об’єм. Для зручності переведемо розміри в дециметри. Тоді:

1) Для паралелепіпеда центр тяжіння знаходиться на перетині головних діагоналей (рис. 9.7), тому

= (0+8)/2 = 4 дм, = (0+6)/2 = 3 дм, = (0+6)/2 = 3 дм,

= 8·6·6 = 288 дм³.

2) Пряму призму уявимо як набір тонких трикутників, площини яких паралельні до площини , та які розташовані вздовж осі . Тоді центр тяжіння призми (рис. 9.8) знаходиться по середині лінії, що з’єднує точки перетину медіан крайніх трикутників:

= (0+8)/2 = 4 дм, = (6+9+6)/3 = 7 дм, = (0+6+0)/3 = 20 дм,

= 8·(3·6)/2 = 72 дм³.

3) Для піраміди (рис. 9.10) центр тяжіння знаходиться в точці для якої .

Для розрахунку координат центра тяжіння піраміди знаходимо проекцію точки (рис. 9.11) на площину основи піраміди і отримаємо точку . Тоді (рис. 9.11), що дозволяє визначити координати центра тяжіння піраміди:

= (3/4)·(8/2) = 3 дм, = (3/4)·(6/2) = 2,25 дм,

= 6+(11-6)/4 = 7,25 дм, = 8·6·(11-6)/3= 80 дм³.

4) Половину циліндра (рис. 9.9) уявимо як набір тонких половин кругів, площини яких паралельні до площини , та які розташовані вздовж осі . Тому для координат центра тяжіння цього елементу маємо:

= (0+8)/2 = 4 дм, = 1,5 дм, = 0,64 дм,

= 28,26 дм³.

Внесемо ці результати та відповідні добутки об’ємів елементів на координати центра тяжіння в таблицю

	, дм^3	, дм	, дм	, дм	, дм^4	, дм^4	, дм^4
	288,00	4,00	3,00	3,00	1152,0	864,0	864,0
	72,00	4,00	7,00	2,00	288,0	504,0	144,0
	80,00	3,00	2,25	7,25	240,0	180,0	580,0
	-28,26	4,00	1,50	0,64	-113,0	-42,4	-18,0
	411,74				1567,0	1505,6	1570,0

Звернемо увагу, що об’єм половини циліндра (виріз) взяти зі знаком „–” і добутки його об’єму на координати увійшов в розрахунки зі знаком „–”.

Отже для координат центра тяжіння тіла отримуємо:

= 1567,0/411,74= 3,81 дм = 38,1 см,

= 1505,6/411,74= 3,66 дм = 36,6 см,

= 1570,0/411,74= 3,81 дм = 38,1 см.

Визначені координати центра тяжіння фігури вказані на рис. 9.12.

Відповідь: = 38,1 см; = 36,6 см;
= 38,1 см.

Задача С.11. Визначення центра тяжіння
просторових однорідних тіл

Знайти координати центра тяжіння просторових фігур, які складаються:

- з однорідних стрижнів (рис. 1 – 6) (дуги на рис. 1, 5, 6 лежать у площині yOz; на рис. 3, 4 – у площині, що паралельна до yOz; на рис. 2 – у площині хOz),

- з однорідних пластин (рис. 7 – 12), які розташовані у площинах xOz та yOz,

- з однорідних об’ємних тіл (рис. 13 – 18),

взявши необхідні розміри (у сантиметрах) з таблиці С.11.

Накреслити кожну фігуру у зручному масштабі відповідно до вказаних розмірів та позначити її центр тяжіння після виконаних розрахунків.

3

11

16

Таблиця С.11 – вихідні дані для задачі С.11.

№	Рис.	, см	, см	, см	, см	, см	, см	, см
	1, 7, 13
	2, 8, 14
	3, 9, 15							-
	4, 10, 16
	5, 11, 17
	6, 12, 18					-		-
	1, 8, 15
	2, 9, 16							-
	3, 10, 17
	4, 11, 18
	5, 12, 13					-		-
	6, 7, 14
	1, 9, 17							-
	2, 10, 18
	3, 11, 13
	4, 12, 14					-		-
	5, 7, 15
	6, 8, 16
	1, 10, 14
	2, 11, 15
	3, 12, 16					-		-
	4, 7, 17
	5, 8, 18
	6, 9, 13							-
	1, 11, 16
	2, 12, 17					-		-
	3, 7, 18
	4, 8, 13
	5, 9, 14							-
	6, 10, 15

Дата добавления: 2015-06-04