Приклади на визначення реакцій в’язів для системи збіжних сил

Методика розв’язання задач

Контрольні запитання

1. За яких умов тверде тіло буде знаходитися в рівновазі під дією двох сил? 2. За яких умов тверде тіло буде знаходитися в рівновазі під дією трьох сил?

3. Що називають в’язями? Сформулюйте принцип звільнення від в’язей.

4. Вкажіть в’язі, для яких напрям реакції відомий.

5. Яка система сил називається збіжною?

6. Як визначається напрям та величина рівнодійної системи збіжних сил при побудові силового трикутника?

7. Сформулюйте умови та запишіть рівняння рівноваги збіжної системи сил, розташованих в площині.

8. Сформулюйте умови та запишіть рівняння рівноваги збіжної системи сил, розташованих в просторі.

1. Знаходять точку, в якій перетинаються лінії дії сил.

2. Вказують усі зовнішні сили, що діють на тіло.

3. Користуючись аксіомою звільнення від в’язів, дію в’язів замінюють їх реакціями.

4. Обирають зручну систему координат та розкладають зовнішні сили та реакції на складові вздовж цих осей.

5. Записують умови рівноваги отриманої системи сил, з якої знаходять невідомі величини.

Приклад 1 - плоска система сил. Плоска конструкція складається з двох стрижнів та BC, які з’єднані в точці B шарнірно і закріплені шарнірно на горизонтальній основі в точках та .

Знайти реакції стрижнів коли на точку діє сила = 1200 Н, яка утворює кут = 45° з вертикальною прямою, а стрижні та BC утворюють кути = 60 ° та = 30 ° з горизонтом (рис. 2.2).

Розв’яжемо задачу з умови рівноваги точки .

1. Внаслідок того, що реакція жорсткого стрижня на шарнірах діє вздовж лінії, що з’єднує центри шарнірів на його кінцях, робимо висновок, що точкою перетину всіх сил є точка В.

2. На точку діє тільки одна активна сила .

3. Відкидаємо в’язі і замінюємо їх реакціями та (рис. 2.3), які спрямовані вздовж стрижнів та BC відповідно. Істинні напрями реакцій з’ясуємо після розв’язку задачі. Таким чином отримали збіжну у точці плоску систему сил.

4. Умова рівноваги має вигляд

.

Для визначення невідомих реакцій та введемо декартову систему координат з початком в точці , вісі якої спрямовані паралельно та перпендикулярно до (рис. 2.3).

Кути, які утворюють реакції та знаходимо з умови паралельності вісі та прямої , що дозволяє визначити проекції сили і реакцій та .

5. В проекціях на вибрані вісі рівняння рівноваги приймають вигляд

,

.

Перепишемо систему рівнянь у вигляді

,

.

Розв’яжемо систему рівнянь методом Крамера. Знайдемо головний визначник системи

.

Підставляючи дані задачі, маємо

= = 1 0,

отже система має єдиний розв’язок. Допоміжні визначники дають:

,

.

Підставляючи значення сили, для величин реакцій отримуємо:

= 311 Н,

= 1160 Н.

Отримані знаки > 0 та > 0 вказують, що напрями реакцій такі, як вказано на рисунку 2.3, тобто стрижні та BC стиснуті.

Відповідь: = 311 Н, = 1160 Н.

Приклад 2 – просторова система сил.Визначення реакцій методом проекцій на декартові вісі.

Вантаж вагою = 1000 Н утримується у рівновазі нерозтяжним невагомим тросом і двома невагомими стрижнями та , які з’єднані в точці шарнірно і закріпленні шарнірно в точках та . Площина горизонтальна, а ^ (рис. 2.4).

Знайти реакції стрижнів та і тросу , якщо орієнтація стрижнів та троса в просторі задається кутами: , та .

Розв’язання. До точки прикладена активна сила . Точка знаходиться у рівновазі за рахунок в’язів, накладених на неї. Звільнимо тіло від в’язів і замінимо їх дію відповідними реакціями.

Реакції , та направляємо вздовж стрижнів та троса, а напрями вибираємо довільно, наприклад, як зображено на рис. 2.5 та отримуємо просторову систему збіжних сил у точці .

Умова рівноваги має вигляд

= . (1)

Для визначення реакцій розташуємо початок декартової системи координат в точці , вісь спрямуємо вздовж лінії , а вісі та – паралельно прямим та (рис. 2.5).

В проекціях на осі координат , та отримуємо:

- оскільки сили та лежать в площині , то їх проекції на вісь дорівнюють нулю, тому

= = 0; (2)

- оскільки сила паралельна осі , то проекція на вісь дорівнює нулю, тому

= ; (3)

- оскільки сили та лежать в площині , то їх проекції на вісь дорівнюють нулю, тому

= = 0. (4)

З останнього рівняння знаходимо реакцію з боку троса

= 2000 Н.

Після підстановки цього значення в рівняння (3) отримуємо систему рівнянь:

= 0,

= 2000 ,

розв’язок якої відносно та дає:

= 1100 Н, = 780 Н.

Отримані додатні знаки для , та вказують, що відповідні вектори мають напрями такі, як вказано на рис. 2.5.

Відповідь: Н; Н; = 2000 Н.

Приклад 3 – просторова система сил. Визначення реакцій методом одиничного вектора. Однорідна прямокутна пластина , розмір якої = 2 м, = 3 м, підвішена до опори за допомогою трьох тросів (рис. 2.6 ).

Точка знаходиться безпосередньо вище центра пластини, а точки закріплення тросів , та зображені на рис. 2.6. Товщиною пластини нехтувати, = 3 м, ED = DC,KC = 0,4 м.

Визначити реакції тросів , , та у точках A, D та С, якщо поверхнева вага пластини = 3000 Н/м².

Розв’язання. Пластина знаходиться у рівновазі за рахунок накладених на неї в’язів. Реакції , , та (рис. 2.7) прикладені до пластини у точках A, D та С, та напрямлені до точки В оскільки у тросах виникають розтягувальні зусилля.

Звільнимо тіло від в’язів і замінимо їх дію відповідними реакціями. Тоді умови рівноваги пластини зводяться до рівняння

(1)

де

, (2)

оскільки площа пластини = 6 м², то
= 18000 Н.

Запишемо вирази для реакцій та ваги пластини через одиничні вектори, які визначають напрями дії кожної з них (дивись рис. 2.7):

,

.

Підставляючи отримані вирази у формулу (1) отримуємо

,

звідки отримуємо три скалярні рівняння

для : ,

для : ,

для : .

Розв’язуємо систему рівнянь методом Крамера. Знаходимо визначники системи: головний

,

та допоміжні:

,

,

.

Тоді для реакцій у точках А, D та С отримуємо:

= 5830 Н, = 8430 Н, = 5680 Н.

Відповідь: = 5830 Н, = 8430 Н, = 5680 Н.

Задача С.2. Визначення реакцій опор
для плоскої збіжної системи сил

Плоска шарнірно-стрижньова конструкція утворена невагомими стрижнями та . У вузлі прикладена сила , що лежить у площині конструкції. Визначити реакції стрижнів.

Рисунок виконувати з урахуванням конкретних значень кутів.

Необхідні дані наведені у таблиці С.2.

1	2
3

Таблиця С.2 – вихідні дані для розв’язання задачі С.2.

№

Рис.

, Н

№

Рис.

, Н

Задача С.3. Визначення реакцій в’язів для просторової
збіжної системи сил методом декартових проекцій

Варіанти 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29 – (рис. 1)

Визначити реакції в’язів просторового шарнірно-стрижньового механізму, який утворений стрижнями , та , коли на точку діє сила , яка лежить в площині та утворює кут с віссю . Стрижень утворює з віссю кут , , кут між стрижнями .

Варіанти 2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30 - (рис. 2)

Визначити реакції в’язів просторового шарнірно-стрижньового механізму, який утворений стрижнями , та , коли вантаж вагою підвішений до точки . Площина горизонтальна, , , а стрижень лежить в площині і утворює з віссю кут .

Варіанти 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27 - (рис. 3)

Визначити реакції в’язів просторового шарнірно-стрижньового механізму, який утворений стрижнями , та , коли на точку діє сила , яка лежить в площині та утворює кут з віссю . Стрижень утворює кут с віссю , , .

Варіант 4,8, 12, 16, 20, 24, 28 - (рис. 4)

Визначити у реакції в’язів просторового шарнірно-стрижньового механізму, який утворений стрижнями , та тросом , коли вантаж вагою підвішений до точки . Площина горизонтальна, а трос лежить в площині і утворює кут з віссю , та .

Необхідні дані наведені в таблиці С.3.

Таблиця С. 3 – вихідні дані для розв’язання задачі С.3.

№	, Н					№	, Н
										-
				-
										-
				-
										-
				-
										-
										-
				-
										-
				-
										-
				-
										-

Задача С.4. Визначення реакцій в’язів для просторової
збіжної системи сил методом одиничних векторів,
спрямованих вздовж реакцій в’язів

Рис. 1. Вантаж вагою Р утримується в рівновазі трьома невагомими нерозтяжними тросами , та . Визначити реакції в’язів у точці С. Координати точок , , С, D (м) та вага вантажу Р Н наведені в таблиці С.4.

Рис. 2. Тринога створена жорсткими невагомими стрижнями на шарнірах , та опирається на горизонтальну поверхню. Визначити реакції в’язів у точці С, якщо вага вантажу Р. Координати точок , , С, D (м) та вага Р (Н) наведені в таблиці С.4.

Рис. 3, 4, 5, 6. Вантаж Р утримується в рівновазі на рамі ADC, яка створена двома невагомими жорсткими стрижнями на шарнірах (AC та DC), та натягнутим тросом ВС. Визначити реакції в’язів у точці С. Координати точок , , С, D (м) та вага вантажу Р (кН) наведені в таблиці С.4.

1

2

3

4

5

6

Таблиця С.4 вихідні дані для задачі С.4

№	Рис	Р		А			В			С			D
			x	y	z	x	y	z	x	y	z	x	y	z
			-1	-3							-2	-1
			-0,6	-0,4		1,0					1,2	-0,3	0,1
				-3		-5				1,5
						-0,5	-3					-3
						1,5	-2		0,5		3,5	-4
				-3		-4,0	-1			-1,5
			-2	-3							-2,5	-3
			-0,5	-0,3		0,8					1,0	-0,5	0,3
				-3,5		-2				-0,5
			3,5			-1	-4		0,5	1,5	2,5	-3,5
			2,5			0,5	-3,5					-2
				-2,5		-3,5	-2			-0,5
			-2	-2							-3	-2
			-0,3	-0,3		0,5					1,5	-0,6	0,3
				-4		-3				0,5			2,5
			2,5			-1	-2,5		0,5	0,5	2,5	-4
							-2,5		-0,5	0,5	2,5	-2,5
				-4		-2,5	-1,5			-1
			-3	-2							-1,5	-2
			-0,3	-0,5		0,4					1,4	-0,4	0,2
				-2		-3				-0,5
						-0,5	-3,5		-1			-2,5
			3,5				-4		-0,5	1,5	2,5	-3,5
				-2		-2,0	-3			0,5			2,5
			-3	-2							-2	-2
			-0,4	-0,5		0,5					1,6	-0,5	0,4
				-3		-3	1,5			-1
						-1,5	-2		-0,5		3,5	-3
						0,5	-3					-3
				-3		-3,0	-1,5

Дата добавления: 2015-06-04