Вибіркове рівняння прямої регресії Y на X

y =α x + β, де

Перевірка гіпотези про закон розподілу.

Критерій згоди Пірсона

, де m – кількість груп у статистичному розподілі вибірки.

За заданим рівнем значущості α і кількістю ступенів вільності k із таблиці критичних точок розподілу χ² (в якій дано розв’язки рівняння (2)) знаходять критичну точку k_кр = χ2_кр(α, k).

Порівнюємо значення k_кр і К_емп:

якщо K > k_кр,, тогіпотезу H₀ відхиляють;

якщо ж, K < k_кр,, тогіпотезу H₀ приймають.

Перевірка гіпотези про порівняння середнього значення (математичного сподівання) ознаки генеральної сукупності зі стандартом

Якщо нульова гіпотеза H₀: a = a₀, а конкуруюча гіпотеза H₁: a ≠ a₀, то перевірку гіпотези H₀ проводимо за такою схемою:

- обчислюємо емпіричне значення критерію за формулою:

; (3)

- знаходимо за таблицею значень функції Лапласа критичне значення u_кр, використовуючи рівняння:

; (4)

_- робимо висновок про висунуту гіпотезу: якщо |U_емп|<u_кр, то гіпотезу H₀ приймаємо; якщо |U_емп| ≥ u_кр, то гіпотезу H₀ відхиляємо на користь H_{1 .}

Якщо конкуруюча гіпотеза має вигляд: H₁: a > a₀, то розглядають правосторонню критичну область, для якої критичну точку шукають із співвідношення: P{U >u_кр } = α.

Тоді , тобто .

Якщо конкуруюча гіпотеза має вигляд: H₁: a < a₀, то розглядають лівосторонню критичну область, для якої P{U < -u_кр } = α.

Якщо нульова гіпотеза H₀: a = a₀, а конкуруюча гіпотеза H₁: a > a₀ або H₁: a < a₀, то перевірку гіпотези H₀ також проводимо за схемою правила 1 з такими змінами:

- замість рівняння (4) для знаходження критичного значення u_кр використовуємо рівняння:

(5)

- робимо висновок стосовно висунутої гіпотези H₀:

1) якщо U_емп<u_кр, то нема підстав відхилити гіпотезу H₀; якщо U_емп ≥ u_кр, то відхиляємо гіпотезу H₀ на користь альтернативи H₁: a > a₀;

2) якщо U_емп> -u_кр, то нема підстав відхилити гіпотезу H₀; якщо U_емп ≤ - u_кр, то відхиляємо гіпотезу H₀ на користь альтернативи H₁: a < a₀;

Таблиця 1. Значення функції

Х
0,0	0,3989 0,3989 0,3989 0,3988 0,3986 0,3984 0,3982 0,3980 0,3977 0,3973
0,1	0,3970 0,3965 0,3961 0,3956 0,3951 0,3945 0,3939 0,3932 0,3925 0,3918
0,2	0,3910 0,3902 0,3894 0,3885 0,3876 0,3867 0,3857 0,3847 0,3836 0,3825
0,3	0,3814 0,3802 0,3790 0,3778 0,3765 0,3752 0,3739 0,3726 0,3712 0,3697
0,4	0,3683 0,3668 0,3652 0,3637 0,3621 0,3605 0,3589 0,3572 0,3555 0,3538
0,5	0,3521 0,3503 0,3485 0,3467 0,3448 0,3429 0,3410 0,3391 0,3372 0,3352
0,6	0,3332 0,3312 0,3292 0,3271 0,3251 0,3230 0,3209 0,3187 0,3166 0,3144
0,7	0,3123 0,3101 0,3079 0,3056 0,3032 0,3011 0,2989 0,2966 0,2943 0,2920
0,8	0,2897 0,2874 0,2850 0,2827 0,2803 0,2780 0,2756 0,2732 0,2709 0,2685
0,9	0,2661 0,2637 0,2613 0,2589 0,2565 0,2541 0,2516 0,2492 0,2468 0,2444
1,0	0,2420 0,2396 0,2371 0,2347 0,2323 0,2299 0,2275 0,2251 0,2227 0,2203
1,1	0,2179 0,2155 0,2131 0,2107 0,2083 0,2059 0,2036 0,2012 0,1989 0,1965
1,2	0,1942 0,1919 0,1895 0,1872 0,1849 0,1826 0,1804 0,1781 0,1758 0,1736
1,3	0,1714 0,1691 0,1669 0,1647 0,1626 0,1604 0,1582 0,1561 0,1539 0,1518
1,4	0,1497 0,1476 0,1456 0,1435 0,1415 0,1394 0,1374 0,1354 0,1334 0,1315
1,5	0,1295 0,1276 0,1257 0,1238 0,1219 0,1200 0,1182 0,1163 0,1145 0,1127
1,6	0,1109 0,1092 0,1074 0,1057 0,1040 0,1023 0,1006 0,0989 0,0973 0,0957
1,7	0,0940 0,0925 0,0909 0,0893 0,0878 0,0863 0,0848 0,0833 0,0818 0,0804
1,8	0,0789 0,0774 0,0759 0,0745 0,0731 0,0718 0,0705 0,0692 0,0680 0,0668
1,9	0,0656 0,0644 0,0632 0,0620 0,0608 0,0596 0,0584 0,0573 0,0562 0,0551
2,0	0,0540 0,0529 0,0519 0,0508 0,0498 0,0488 0,0478 0,0468 0,0459 0,0449
2,1	0,0440 0,0431 0,0422 0,0413 0,0404 0,0396 0,0387 0,0379 0,0371 0,0363
2,2	0,0355 0,0347 0,0339 0,0332 0,0325 0,0317 0,0310 0,0303 0,0297 0,0290
2,3	0,0283 0,0277 0,0270 0,0264 0,0258 0,0252 0,0246 0,0241 0,0235 0,0229
2,4	0,0224 0,0219 0,0213 0,0208 0,0203 0,0198 0,0194 0,0189 0,0184 0,0180
2,5	0,0175 0,0171 0,0167 0,0163 0,0158 0,0154 0,0151 0,0147 0,0143 0,0139
2,6	0,0136 0,0132 0,0129 0,0126 0,0122 0,0119 0,0116 0,0113 0,0110 0,0107
2,7	0,0104 0,0101 0,0099 0,0096 0,0093 0,0091 0,0088 0,0086 0,0084 0,0081
2,8	0,0079 0,0077 0,0075 0,0073 0,0071 0,0069 0,0067 0,0065 0,0063 0,0061
2,9	0,0060 0,0058 0,0056 0,0055 0,0053 0,0051 0,0050 0,0048 0,0047 0,0046
3,0	0,0044 0,0043 0,0042 0,0040 0,0039 0,0038 0,0037 0,0036 0,0035 0,0034
3,1	0,0033 0,0032 0,0031 0,0030 0,0029 0,0028 0,0027 0,0026 0,0025 0,0025
3,2	0,0024 0,0023 0,0022 0,0022 0,0022 0,0021 0,0020 0,0019 0,0018 0,0018
3,3	0,0017 0,0017 0,0016 0,0016 0,0015 0,0015 0,0014 0,0014 0,0013 0,0013
3,4	0,0012 0,0012 0,0010 0,0011 0,0011 0,0010 0,0010 0,0010 0,0010 0,0009
3,5	0,0007 0,0008 0,0008 0,0008 0,0008 0,0007 0,0007 0,0007 0,0007 0,0006
3,6	0,0006 0,0006 0,0005 0,0006 0,0005 0,0005 0,0005 0,0005 0,0005 0,0004
3,7	0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0004 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003
3,8	0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0003 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002
3,9	0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0002 0,0001

Таблиця 2. Значення функції

х
0,0	0,0000	0,0040	0,0080	0,0120	0,0160	0,0199	0,0239	0,0279	0,0319	0,0359
0,1	0,0398	0,0438	0,0478	0,0517	0,0557	0,0596	0,0636	0,0675	0,0714	0,0753
0,2	0,0793	0,0832	0,0871	0,0910	0,0948	0,0987	0,1026	0,1064	0,1103	0,1141
0,3	0,1179	0,1217	0,1255	0,1293	0,1331	0,1368	0,1406	0,1443	0,1480	0,1517
0,4	0,1554	0,1591	0,1628	0,1664	0,1700	0,1736	0,1772	0,1808	0,1844	0,1879
0,5	0,1915	0,1950	0,1985	0,2019	0,2054	0,2086	0,2123	0,2157	0,2190	0,2224
0,6	0,2257	0,2291	0,2324	0,2357	0,2389	0,2422	0,2454	0,2486	0,2517	0,2549
0,7	0,2580	0,2611	0,2640	0,2673	0,2703	0,2734	0,2764	0,2794	0,2823	0,2862
0,8	0,2881	0,2910	0,2939	0,2967	0,2995	0,3023	0,3061	0,3078	0,3106	0,3133
0,9	0,3159	0,3186	0,3211	0,3238	0,3264	0,3289	0,3315	0,3340	0,3365	0,3389
1,0	0,3413	0,3438	0,3461	0,3485	0,3508	0,3531	0,3554	0,3577	0,3599	0,3621
1,1	0,3643	0,3665	0,3686	0,3708	0,3729	0,3749	0,3770	0,3790	0,3810	0,3830
1,2	0,3849	0,3869	0,3883	0,3907	0,3925	0,3944	0,3962	0,3980	0,3997	0,4015
1,3	0,4032	0,4049	0,4066	0,4082	0,4099	0,4115	0,4131	0,4147	0,4162	0,4177
1,4	0,4192	0,4207	0,4222	0,4236	0,4251	0,4265	0,4279	0,4292	0,4306	0,4319
1,5	0,4332	0,4345	0,4357	0,4370	0,4382	0,4394	0,4406	0,4418	0,4429	0,4441
1,6	0,4452	0,4463	0,4474	0,4484	0,4495	0,4505	0,4515	0,4525	0,4535	0,4545
1,7	0,4554	0,4564	0,4573	0,4582	0,4591	0,4599	0,4608	0,4616	0,4625	0,4633
1,8	0,4641	0,4649	0,4656	0,4665	0,4671	0,4678	0,4686	0,4693	0,4699	0,4706
1,9	0,4713	0,4719	0,4726	0,4732	0,4738	0,4744	0,4780	0,4756	0,4761	0,4767
2,0	0,4772	0,4778	0,4783	0,4803	0,4793	0,4798	0,4803	0,4807	0,4812	0,4817
2,1	0,4821	0,4825	0,4830	0,4834	0,4838	0,4842	0,4846	0,4850	0,4854	0,4857
2,2	0,4861	0,4861	0,4868	0,4871	0,4875	0,4877	0,4881	0,4884	0,4887	0,4889
2,3	0,4893	0,4895	0,4898	0,4901	0,4904	0,4906	0,4909	0,4911	0,4913	0,4916
2,4	0,4918	0,4920	0,4922	0,4925	0,4927	0,4929	0,4931	0,4932	0,4934	0,4936
2,5	0,4938	0,4939	0,4941	0,4943	0,4945	0,4946	0,4948	0,4949	0,4951	0,4952
2,6	0,4953	0,4955	0,4956	0,4957	0,4959	0,4959	0,4961	0,4962	0,4963	0,4964
2,7	0,4965	0,4966	0,4967	0,4968	0,4969	0,4970	0,4971	0,4972	0,4973	0,4974
2,8	0,4974	0,4975	0,4976	0,4977	0,4977	0,4978	0,4979	0,4980	0,4980	0,4981
2,9	0,4981	0,4982	0,4983	0,4983	0,4984	0,4984	0,4985	0,4985	0,4986	0,4986
3,0	0,4987	0,498694	0,498736	0,498777	0,498817	0,498856	0,498893	0,498929	0,498965	0,498999
3,1	0,49903	0,499065	0,499096	0,499126	0,499153	0,499184	0,499211	0,499238	0,499264	0,499289
3,2	0,49931	0,499336	0,499359	0,499381	0,499402	0,499423	0,499443	0,499452	0,499481	0,499499
3,3	0,49952	0,499534	0,499549	0,499564	0,499581	0,499596	0,499610	0,499624	0,499638	0,499651
3,4	0,49966	0,499675	0,499687	0,499698	0,499709	0,499719	0,499730	0,499739	0,499749	0,499759
3,5	0,49977	0,499776	0,499784	0,499792	0,499799	0,49981	0,499815	0,499822	0,499828	0,499835
3,6	0,49985	0,499847	0,499853	0,499858	0,499864	0,499869	0,499874	0,499879	0,499883	0,499888
3,7	0,49989	0,499896	0,499900	0,499904	0,499908	0,499912	0,499915	0,499918	0,499922	0,499925
3,8	0,49993	0,499931	0,499933	0,499936	0,499938	0,499941	0,499943	0,499946	0,499948	0,499949
3,9	0,49995	0,499954	0,499956	0,499958	0,499959	0,499961	0,499963	0,499964	0,499966	0,499967
4,0	0,49997	0,499970	0,499971	0,499972	0,499973	0,499974	0,49976	0,499977	0,499978	0,499978
4,1	0,49998	0,499980	0,499981	0,499982	0,499983	0,499983	0,499984	0,499985	0,499985	0,499986
4,2	0,49998	0,499987	0,499988	0,499988	0,49989	0,499989	0,499989	0,499990	0,499991	0,499991
4,3	0,49999	0,499992	0,499992	0,499993	0,499993	0,499993	0,499994	0,499994	0,499994	0,499994
4,4	0,49999	0,499995	0,99995	0,499995	0,499996	0,499996	0,499996	0,499996	0,499996	0,499996
4,5	0,49999	0,499997	0,499997	0,499997	0,499997	0,499997	0,499997	0,499997	0,499998	0,499998
5,0	0,4999999

Таблиця 3. Значення функції Пуассона

k	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8
	0,904837	0,818731	0,740818	0,670320	0,606331	0,548812	0,496585	0,449329
	0,090484	0,163746	0,222245	0,268128	0,303265	0,329287	0,347610	0,3594463
	0,004524	0,016375	0,033337	0,053626	0,075816	0,098786	0,121663	0,143785
	0,000151	0,001062	0,003334	0,007150	0,012636	0,019757	0,028388	0,038343
	0,000004	0,000055	0,000250	0,000715	0,001580	0,002964	0,004968	0,007669
	-	0,000002	0,000015	0,000057	0,000158	0,000356	0,000696	0,001227
	-	-	0,000001	0,000004	0,000013	0,000036	0,000081	0,000164
	-	-	-	-	0,000001	0,000003	0,000008	0,000019
	-	-	-	-	-	-	0,000001	0,000002
k	0,9	1,0	1,5	2,0	2,5	3,0	3,5	4,0
	0,406570	0,367879	0,223130	0,135335	0,82085	0,049787	0,030197	0,018316
	0,365913	0,367879	0,334695	0,270671	0,205212	0,149361	0,105691	0,073263
	0,164661	0,183940	0,251021	0,270671	0,256513	0,224042	0,184959	0,146525
	0,049398	0,061313	0,125510	0,180447	0,213763	0,224042	0,215785	0,195367
	0,011115	0,015328	0,04067	0,090224	0,133602	0,168031	0,188812	0,195367
	0,002001	0,003066	0,014120	0,036089	0,066801	0,1000819	0,132169	0,156293
	0,000300	0,000511	0,003530	0,012030	0,027834	0,050409	0,077098	0,104196
	0,000039	0,000073	0,000756	0,003437	0,009941	0,021604	0,038549	0,059540
	0,000004	0,000009	0,000142	0,000859	0,003106	0,008102	0,016865	0,029770
	-	0,000001	0,000024	0,000191	0,000863	0,002701	0,006559	0,013231
	-	-	0,000004	0,000038	0,000216	0,000810	0,002296	0,005292
	-	-	-	0,000007	0,000049	0,000221	0,000730	0,001925
	-	-	-	0,000001	0,000010	0,000055	0,000213	0,000642
	-	-	-	-	0,000002	0,000013	0,000057	0,000197
	-	-	-	-	-	0,000003	0,000014	0,000056
	-	-	-	-	-	0,000001	0,000003	0,000015
	-	-	-	-	-	-	0,000001	0,000004
	-	-	-	-	-	-	-	0,000001
k	4,5	5,0	6,0	7,0	8,0	9,0	10,0
	0,011109	0,006738	0,002479	0,000912	0,000335	0,000123	0,000045
	0,049990	0,033690	0,014873	0,006383	0,002684	0,001111	0,000454
	0,112479	0,083227	0,044618	0,022341	0,010735	0,004998	0,002270
	0,168718	0,140374	0,089235	0,052129	0,028626	0,014994	0,007867
	0,189808	0,175467	0,133853	0,091226	0,057252	0,033737	0,018917
	0,170827	0,175467	0,160623	0,127717	0,091604	0,060727	0,037833
	0,128120	0,146223	0,160623	0,149003	0,122138	0,091090	0,063055
	0,082363	0,104445	0,137677	0,149003	0,139587	0,117116	0,090079
	0,046329	0,065278	0,103258	0,130377	0,139587	0,131756	0,112599
	0,023165	0,036266	0,068838	0,101405	0,124077	0,131756	0,125110
	0,010424	0,018133	0,041303	0,070983	0,099262	0,118580	0,125110
	0,004264	0,008242	0,022529	0,045171	0,072190	0,097020	0,113736
	0,001599	0,003434	0,011264	0,026350	0,048127	0,072765	0,094780
	0,000554	0,001321	0,005189	0,014188	0,029616	0,050376	0,072908

Таблиця значень функції t_a=t(a,n) Табл.4

n a	0,95	0,99	0,999		n a	0,95	0,99	0,999
	2, 78	4,60	8,61			2,093	2,891	3,883
	2,57	4,03	6,86			2,064	2,797	3,745
	2,45	3,71	5,96			2,045	2,756	3,659
	2,37	3,50	5,41			2,032	2,720	3,600
	2,31	3,36	5,04			2,023	2,708	3,558
	2,26	3,25	4,78			2,016	2,692	3,527
	2,23	3,17	4,59			2,009	2,679	3,502
	2,20	3,11	4,44			2,001	2,662	3,464
	2,18	3,06	4,32			1,996	2,649	3,439
	2,16	3,01	4,22			1,991	2,640	3,418
	2,15	2,98	4,14			1,987	2,633	3,403
	2,13	2,95	4,07			1,984	2,627	3,392
	2,12	2,92	4,02			1,980	2,617	3,374
	2,11	2,90	3,97		∞	1,960		3,291
	2,10	2,88	3,92

Таблиця значень функції q=q(a,n) Табл.5

n a	0,95	0,99	0,999		n a	0,95	0,99	0,999
	1,37	2,67	5,64			0,37	0,58	0,88
	1,09	2,01	3,88			0,32	0,49	0,73
	0,92	1,62	2,98			0,28	0,43	0,63
	0,80	1,38	2,42			0,26	0,38	0,56
	0,71	1,20	2,06			0,24	0,35	0,50
	0,65	1,08	1,80			0,22	0,32	0,46
	0,59	0,98	1,60			0,21	0,30	0,43
	0,55	0,90	1,45			0,19	0,27	0,38
	0,52	0,83	1,33			0,17	0,25	0,34
	0,48	0,78	1,23			0,16	0,23	0,31
	0,46	0,73	1,15			0,15	0,21	0,29
	0,44	0,70	1,07			0,14	0,20	0,27
	0,42	0,66	1,01			0,12	0,16	0,21
	0,40	0,63	0,96			0,10	0,14	0,19
	0,39	0,60	0,92			0,09	0,12	0,16

Значення критичних точок критерію χ²

Табл.6

	a	0,01	0,025	0,05	0,95	0,975	0,99
k
	6,635	5,024	3,841	0,004	0,001	0,000
	9,210	7,378	5,991	0,103	0,051	0,020
	11,345	9,348	7,815	0,352	0,216	0,115
	13,277	11,143	9,488	0,711	0,484	0,297
	15,086	12,833	11,070	1,145	0,831	0,554
	16,812	14,449	12,592	1,635	1,237	0,872
	18,475	16,013	14,067	2,167	1,690	1,239
	20,090	17,535	15,507	2,733	2,180	1,646
	21,666	19,023	16,919	3,325	2,700	2,088
	23,209	20,483	18,307	3,940	3,247	2,558
	24,725	21,920	19,675	4,575	3,816	3,053
	26,217	23,337	21,026	5,226	4,404	3,571
	27,688	24,736	22,362	5,892	5,009	4,107
	29,141	26,119	23,685	6,571	5,629	4,660
	30,578	27,488	24,996	7,261	6,262	5,229
	32,000	28,845	26,296	7,962	6,908	5,812
	33,409	30,191	27,587	8,672	7,564	6,408
	34,805	31,526	28,869	9,390	8,231	7,015
	36,191	32,852	30,144	10,117	8,907	7,633
	37,566	34,170	31,410	10,851	9,591	8,260
	38,932	35,479	32,671	11,591	10,283	8,897
	40,289	36,781	33,924	12,338	10,982	9,542
	41,638	38,076	35,172	13,091	11,689	10,196
	42,980	39,364	36,415	13,848	12,401	10,856
	44,314	40,646	37,652	14,611	13,120	11,524
	45,642	41,923	38,885	15,379	13,844	12,198
	46,963	43,195	40,113	16,151	14,573	12,879
	48,278	44,461	41,337	16,928	15,308	13,565
	49,588	45,722	42,557	17,708	16,047	14,256
	50,892	46,979	43,773	18,493	16,791	14,953

Дата добавления: 2015-06-04