Эквивалентность пар сил

Векторный и алгебраический моменты пары сил.

Алгебраический момент M=±F•d (пара). M=±dF1=±dF2=±2SΔABC= ±S. Он не меняется при перемещении сил вдоль линии их действия (ни плечо, ни направление вращения не меняются).

Векторный момент – вектор M = M (F, F’), направлен перпендикулярно плоскости пары в ту сторону, откуда видно стремление пары повернуть тело против часовой хода стрелки, его модуль равен алгебраическому моменту пары.
M (F 1, F 2)= BA x F 1= AB x F 2.

7 вопрос

Рассмотрим две теоремы, характеризующие важные свойства пар сил.

Теорема 1. Пару сил в плоскости ее действия можно переносить в любое новое положение, действие пары на тело при этом не изменится.

Пусть дана пара с плечом и требуется перенести ее так, чтобы плечо заняло произвольно выбранное положение (рисунок а)

Через точки и , а также и проведем прямые, перпендикулярные соответственно и (рисунок б). Две первые параллельные линии пересекаются с двумя вторыми параллельными и образуют ромб (так как дано , а параллелограмм, у которого две высоты, проведенные из одной вершины, равны, - ромб). Силу из точки перенесем вдоль линии действия в точку , а силу - из точки в точку . В точке вдоль прямой приложим уравновешенную систему сил и , равных по модулю ; в точке вдоль прямой также приложим уравновешенную системы сил и , равных по модулю ; таким образом, .

Определим равнодействующую сил и , приложенных к точке , и равнодействующую сил , приложенных к точке . Легко видеть, что силы и уравновешивают друг друга, так как они равны между собой по модулю и действуют по диагонали ромба в противоположные стороны. Следовательно, силы , , и , образовавшие уравновешенную систему, можно исключить из рассмотрения. Остаются две силы - сила , которую из точки вдоль линии действия перенесем в точку (рисунок в), и сила , которую из точки перенесем в точку . Так как модули , , , и плечи и равны, то получаем пару , в положении , эквивалентную паре , в положении . Теорема доказана.

Перенося пару сил в любое положение в плоскости ее действия, мы тем самым переносим и точку приложения вектора момента пары, не меняя его ориентации в пространстве. Значит, вектор момента пары - свободный вектор.

Теорема 2. Две пары, расположенные в одной плоскости, производят на тело одинаковое вращательное действие в том случае, если их моменты равны.

Предположим, что задана пара с плечом . Следовательно, момент пары (рис. а). Присоединим к паре уравновешенную систему сил и , действующих вдоль плеча (рис. б), и сложим попарно силы и , а также и . Их равнодействующие и образуют новую пару сил с плечом (рис. в). Все произведенные выше преобразования сделаны на основе аксиом статики и не нарушают состояния, в котором находилось тело, т. е. пара производит на тело такое же действие, как и пара . Остается доказать равенство моментов этих пар сил:

момент пары ,
момент пары .

Из построений на рис. б видно, что , ; следовательно, , т. е. .
Теорема доказана.

Действующие в одной плоскости пары сил, моменты которых равны друг другу, называются статически эквивалентными.

Из доказанных теорем следует, что вращательное действие расположенной в данной плоскости пары зависит только от ее момента, поэтому для задания пары сил достаточно указать числовое значение ее момента, а затем по данному или выбранному плечу можно определить силы пары или по силам подобрать необходимое плечо. Исходя из этого, на рисунках и схемах пары сил изображают иногда просто круговой стрелкой, характеризующей лишь направления вращающего действия. Например, пары и , приложенные к брусу (рис. а), можно условно изобразить круговыми стрелками, обозначив их и (рис. б).

Дата добавления: 2015-06-04