Вычисление площадей поверхностей

Примеры для самостоятельной работы

Вычислить (и изобразить на чертежах) объемы тел, ограниченных указанными поверхностями:

81. x + 2 y – z = 0, x – 2 y + 5 = 0, 2 x + 3 y – 18 = 0, z = 0;

82. x² + y² – z = 0, x – 3 = 0, y – 2 = 0, x = 0, y = 0, z = 0;

83. z = 16 – x² – y², x = ± 3, y = ± 3, z = 0. 84. x² + y² + z – 4 = 0, x² + y² - 2 z + 2 = 0;

85. y = x², x = y², z = 12 + y – x².

Перейдя к полярным координатам, вычислить объемы тел, ограниченных следующими поверхностями:

86. , x² + y² = a², z = 0; 87. z = x² – y², (x² + y²) ² = 4(x² – y²), z = 0;

88. z = xy, (x² + y²) ² = 8 xy, z = 0; 89. z = 1 – x² – y², y = x, , z = 0;

90. z = x² + y², z² = xy, z = 0; 91. x² + y² = 2 ax, z = kx, z = 0.

Вычислить объемы тел, ограниченных указанными поверхностями (параметры считать положительными):

91. , ; 92. , z = 0;

93. , x = 0, y = 0, z = 0.

С помощью надлежащей замены переменных вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями:

94. z = xy, x² = y, x² = 3 y, y² = x, y² = 3 x, z = 0;

95. z = x² + y², y² = 3 x, y² = 4 x, y = x, y = 2 x, z = 0;

96. z² = xy, xy = 1, xy = 9, y² = x, y² = 5 x, z = 0.

Случай явного задания поверхности. Площадь S гладкой поверхности z = z(x, y) выражается формулой

, (32)

где D – проекция данной поверхности на плоскость Оху.

Если поверхность имеет уравнение вида y = y(x, z), то

, (33)

где D – проекция данной поверхности на плоскость Oxz.

Если поверхность задана уравнением x = x(y, z), то

, (34)

где D – проекция данной поверхности на плоскость Oуz.

Случай неявного задания поверхности. Площадь S поверхности, заданной уравнением F(x, y, z) = 0, выражается интегралом

, (35)

где D – проекция данной поверхности на плоскость Оху.

Случай параметрического задания поверхности. Если уравнения поверхности заданы параметрически: x = x (u, v), y = y (u, v), z = z (u, v), где (u, v)Î D и D – ограниченная замкнутая квадрируемая область, в которой х, у, z непрерывно дифференцируемы, то

, (36)

где

(37)

Пример 37. Вычислить площадь поверхности шара радиуса R.

В системе прямоугольных декартовых координат с началом в центре шара уравнение его поверхности имеет вид x² + y² + z² = R², или x² + y² + z² - - R² = 0.

Поверхность здесь задана неявным уравнением F(x, y, z) = 0, где F(x, y, z) = x² + + y² + z² - R². Воспользуемся формулой (35). Так как

, , ,

,

то ,

или , где D – круг (рис. 47).

Для вычисления полученного несобственного интеграла перейдем к полярным координатам x = rcosq, y = r sinq. Находим

.

Пример 38. Вычислить площадь боковой поверхности кругового конуса с радиусом основания R и высотой Н.

Начало прямоугольной декартовой системы координат поместим в вершине конуса, а ось Oz направим по оси конуса (рис. 48). Уравнение конуса примет вид

.

Поверхность в данном случае задана уравнением вида z = z(x, y). Вычислим по формуле (32) ее площадь. Поскольку

, ,

,

то , где D – круг . Следовательно,

.

Пример 39. Вычислить площадь поверхности части цилиндра , отсеченной плоскостями z = 0, z = H.

Уравнение данной поверхности не содержит z, поэтому применить формулу (32) здесь нельзя. Так как данное уравнение разрешимо относительно у и относительно х, то можно воспользоваться либо формулой (33), либо формулой (34). Применим формулу (34). Уравнение половины цилиндра, находящейся впереди плоскости Ozy (рис. 49), имеет вид .

Так как , , ,

то поверхность цилиндра

,

где D – прямоугольник, , .

Итак,

.

Пример 40. Найти площадь поверхности, вырезанной цилиндром x² + y² = = r² из сферы x² + y² + z² = R² (r < R).

Цилиндр вырезает из сферы две части, верхняя из них изображена на рис.50. Вычислим площадь S₁ поверхности этой части сферы. Для верхней полусферы:

,

, , .

Следовательно, , где D – круг .

Переходя к полярным координатам, находим

Итак, .

Пример 41. Вычислить площадь части сферы x² + y² + z² = R², вырезанной из нее цилиндром x² + y² = Rх, воспользовавшись параметрическими уравнениями сферической поверхности:

x = R sin u cos v, y = R sin u sin v, z = R cos u

(0 £ u £ p, 0 < v £ 2p).

Воспользуемся формулой (36), для чего предварительно найдем коэффициенты Е, G, F. Так как

, , ,

, , ,

по формулам (37) находим: E = R², F = 0, G = R² sin ² u.

Следовательно, .

Ограничимся рассмотрением четверти изучаемой поверхности, лежащей в первом октанте. Для точек кривой пересечения сферы и цилиндра (в пределах первого октанта) . Действительно, подставляя выражения х и у через u и v в уравнение цилиндра x² + y² = Rх, получим sin u = cos v, и поскольку для рассматриваемых точек очевидно, что , , то отсюда следует, .

Установив на основании сказанного пределы изменения u и v, по формуле (36) получим

.

Дата добавления: 2015-06-04