Преобразование амплитуд

Б. Произвольные повороты

Повороты вокруг оси x

Повороты на 180° и на 90 вокруг оси у

Повороты вокруг оси z

Преобразование к повернутой системе координат

Преобразование амплитуд

СПИН ОДНА ВТОРАЯ

На языке наших прежних обозначений

Число базисных состояний n может оказаться (и, вообще говоря, бывает) равным бесконечности.

* И в самом деле, для атомных систем с тремя или более базисными состояниями существуют другие типы фильтров (совершенно непохожие на приборы Штерна —Герлаха), которые можно было бы употребить для выбора других совокупностей базисных состояний (но при том же общем иx числе ).

* Из этого опыта мы на самом деле не можем заключить, что а= 1, а видим только, что |а|²=1, следовательно, а может быть e^id, но можно показать, что при выборе d=0 мы ничего существенного здесь не по­теряли.

* Мы не собираемся вкладывать в слова «базисное состояние» что-либо сверх того, что здесь сказано. Не следует переводить «базис» как «основу» и хоть в каком-то смысле считать их «основными состояниями». Слово «базис» понимается как «система описания», скажем, в таком смыс­ле, как в выражении «число в десятичной системе».

* Произносить надо так: (+S)—«плюс-S»; (0S) — «нуль-S»; (-S)— «минус-S».

Глава 4

В предыдущей главе мы, пользуясь в ка­честве примера системой со спином 1, набросали общие принципы квантовой механики.

Любое состояние y можно описать через совокупность базисных состояний, задав амплитуды пребывания в каждом из них.

Амплитуда перехода из одного состоя­ния в другое может быть в общем слу­чае записана в виде суммы произведений амплитуд перехода в одно из базисных со­стояний на амплитуды перехода из этих базисных состояний в конечное положе­ние; в сумму непременно входят члены, относящиеся к каждому базисному состоя­нию;

Базисные состояния ортогональны друг другу — амплитуда пребывания в одном, если вы находитесь в другом, есть нуль:

Амплитуда перехода из одного состоя­ния в другое комплексно сопряжена амп­литуде обратного перехода

Мы немного поговорили о том, что базис для состояний может быть не один и что можно использовать (4.1), чтобы пе­рейти от одного базиса к другому. Пусть, например, мы знаем амплитуды < iS | y > обнаружения состояния y в лю­бом из базисных состояний i базисной системы S, но затем решаем, что лучше описывать состояние в терминах другой совокупности базисных состояний — скажем, состояний j, при­надлежащих к базису Т. Мы тогда можем подставить в общую формулу (4.1) jT вместо c и получить

Амплитуды обнаружения состояния (y) в базисных состояниях (jТ) связаны с амплитудами его обнаружения в базисных со­стояниях (iS) совокупностью коэффициентов < jT | iS >. Если базисных состояний N, то таких коэффициентов всего N ². Эту совокупность коэффициентов часто называют «матрицей преобразования от представления S к представлению Т». Математически это выглядит страшновато, но стоит все чуть обозначить иначе и оказывается, что ничего страшного нет. Если обозначить через С; амплитуду того, что состояние y находится в базисном состоянии iS, т. е. C_i= < iS | y >, а через C'_j назвать соответствующие амплитуды для базисной системы Т. т. е. С _j =< jT | y >, то (4.4) можно записать в виде

где R_ji — то же самое, что и < jT | iS >. Каждая амплитуда C_j есть сумма по всем i одного ряда коэффициентов R_ji, умно­женных на каждую амплитуду С_i. Это выглядит так же, как преобразование вектора от одной системы координат к другой.

Но не будем слишком долго увлекаться абстракцией. Мы уже приводили парочку примеров этих коэффициентов для случая спина 1, и вы сами можете разобраться, как ими пользоваться практически. Но, с другой стороны, у квантовой механики существует очень красивое качество: из того факта, что состоя­ний только три, используя лишь свойства симметрии простран­ства относительно вращений она умеет чисто отвлеченным пу­тем вычислить эти коэффициенты. Приводить на столь ранней стадии эти рассуждения было бы нехорошо: прежде чем вы «вер­нулись бы на землю», вы могли бы утонуть в новом море абстрак­ций. Однако все это так красиво, что мы в свое время это не­пременно проделаем.

В этой же главе мы покажем вам, как можно получить коэффициенты преобразований для частиц со спином ¹/₂. Мы выбрали этот случай потому, что он проще спина 1. Задача состоит в том, чтобы определить коэффициенты R_ji для частицы, или атомной системы, которая в аппарате Штерна — Герлаха расщепляется на два пучка„ Мы собираемся вывести все коэф­фициенты для преобразования от одного представления к дру­гому путем чистого рассуждения плюс несколько предположе­ний. Какие-то предположения всегда нужны для того, чтобы пользоваться «чистыми» рассуждениями! Хотя наши доказа­тельства будут абстрактными и немного запутанными, резуль­тат, который мы получим, сформулировать легко и понять просто; сам же по себе он будет очень важным. Можете, если угодно, рассматривать это как своего рода культмероприятие. Мы ведь условились уже, что все существенное, выведенное здесь, будет также выводиться по мере надобности в следующих главах другим путем. Так что вы не бойтесь потерять нить нашего изложения квантовой механики, если полностью про­пустите эту главу или изучите ее попозже. Мероприятие «куль­турное» в том смысле, что оно должно показать вам, что прин­ципы квантовой механики не только любопытны, но и настолько глубоки, что, прибавив к ним всего несколько добавочных ги­потез о структуре пространства, мы сможем вывести огромное множество свойств физических систем. Кроме того, важно по­нимать, откуда вытекают различные следствия квантовой ме­ханики. Пока наши законы физики неполны (а так оно и есть на самом деле), всегда интересно выяснить, в каких местах наши теории перестают согласовываться с опытом — там ли, где наша логика самая лучшая, или же там, где она наихудшая. До сих пор оказывалось, что там, где наша логика наиболее абстрактна, там она всегда дает правильные результаты — теория согласуется с опытом. Только тогда, когда мы пытаемся строить конкретные модели внутреннего устройства элементар­ных частиц и их взаимодействий, только тогда мы оказываемся не в состоянии найти теорию, согласную с экспериментом. Та теория, которую мы намерены описать здесь, согласуется с опытом всюду, где ее испытывали; она так же хороша для странных частиц, как и для электронов, протонов и т. д.

Еще одно неприятное (но важное) замечание: коэффициенты R _jiневозможно определить однозначно, потому что в амплиту­дах вероятностей всегда есть какой-то произвол. Если у вас есть ряд каких угодно амплитуд, скажем амплитуд прихода в некоторое место по целому множеству различных путей, и если вы помножите каждую отдельную амплитуду на один и тот же фазовый множитель, скажем на е^id, то получится другая сово­купность, которая будет ничуть не хуже первой. Значит, всегда можно произвольно изменить фазу всех амплитуд в любой за­даче, если вы этого захотите.

Допустим, вы вычисляете некоторую вероятность, беря сумму нескольких амплитуд, скажем (А + В + С +...), и возводя ее модуль в квадрат. Затем кто-то другой вычисляет то же самое, складывая амплитуды (А' + В' + С'+...) и возводя их модуль в квадрат. Если все А', В', С' и т. д. отли­чаются от А, В, С и т. д. только множителем е^id, то все вероят­ности, получаемые возведением модуля в квадрат, окажутся в точности одинаковыми, потому что тогда (А' + В' + С +...) равно e ^id (А + В + С+...). Или допустим, к примеру, что мы считали что-нибудь по уравнению (4.1), но затем внезап­но изменили все фазы определенной базисной системы. Каждую из амплитуд < i |y> тогда пришлось бы умножить на один и тот же множитель е^id. Точно так же изменились бы в e ^id раз и все амплитуды: <i|c>, но амплитуды <c| i > комплексно сопряжены амплитудам < i |c>; тем самым они приобрели бы множитель е^-id. Плюс и минус id в экспонентах уничтожатся, и получится то же выражение, что было и раньше. Стало быть, общее правило таково, что изменение на одну и ту же фазу всех амплитуд по отношению к данной базисной системе или даже простое изменение всех амплитуд в любой задаче на одну и ту же фазу ничего не меняет. Значит, существует некоторая свобода в выборе фаз нашей матрицы преобразования. Мы то и дело будем прибегать к такому произвольному выбору, всегда сле­дуя общепринятым соглашениям.

Дата добавления: 2015-06-04