Пример Б 4119

. (4.6)

Решение. Подставим , получим

. (4.6')

Продифференцировав по , имеем

,

откуда

; ; ; .

Подставив в выражения для и , получим систему уравнений:

(4.7)

подставив в первое уравнение, найдем

(4.8)

Это – уравнение параболы, симметричной относительно оси OX. Семейство прямых, описываемых первым уравнением системы (4.7), есть семейство касательных к этой параболе. Таким образом, парабола (4.8) может рассматриваться как огибающая семейства собственных касательных. Такое геометрическое истолкование характерно для уравнения Клеро.

Пример 4.3. .

Это - уравнение Лагранжа. Его канонический вид

.

Решаем его методом введения параметра с последующим дифференцированием по переменной . Получаемое соотношение оказывается линейным неоднородным уравнением первого порядка относительно функции и её производной .

В результате интегрирования этого уравнения общее решение получается в параметрической форме, как система функций

, .

Решение. Полагаем , тогда

. (4.9)

Дифференцируя, находим , откуда

(4.10)

Это - линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка относительно функции и её производной . Однородное уравнение

решаем методом разделения переменных. Получаем:

; ; .

Решение неоднородного уравнения находим методом вариации произволь-ной постоянной в виде . Подставив последнее в неоднородное уравнение (4.10), имеем:

;

после сокращений

, , , . (Здесь .)

Подставив найденное выражение для в выражение для (4.9), найдем общее решение уравнения Лагранжа в параметрической форме:

.

Методом введения параметра удаётся интегрировать и другие типы дифференциальных уравнений, например, вида

или .

Если эти уравнения можно разрешить относительно , то получаются уравнения с разделяющимися переменными. В противном случае проинтегрировать уравнения иногда возможно методом введения параметра.

А. Уравнение вида разрешимо относительно y:

.

Полагаем , тогда . Дифференцируем последнее урав-нение и, заменив dy на p dx, получаем , откуда

и , .

Это - общее решение дифференциального уравнения в параметрической форме.

Дата добавления: 2015-06-04