![]() КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Дифференциальные уравнения старших порядковДифференциальное уравнение
или, если оно разрешено относительно
Здесь функция а D - область в Всякая функция Задача нахождения решения
называется задачей Коши для уравнения (5.1). (Здесь Условия (5.2) называются условиями Коши или начальными условиями.
Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Если в уравнении (5.1) функция а) непрерывна по всем своим аргументам б) имеет ограниченные в области G производные то найдется интервал Например, для уравнения второго порядка начальные условия имеют вид:
где В этом случае теорема существования и единственности утверждает, что через данную точку Общим решением дифференциального уравнения
будет частным решением уравнения (5.1), удовлетворяющим условиям (5.2) В процессе интегрирования уравнения Пример 5.1. Решение. Покажем, что Пусть заданы начальные условия:
Покажем, что можно подобрать постоянные из которой
частное решение уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям. Геометрически это означает, что через каждую точку
Рассмотрим три вида дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка. 1. Уравнение вида Пример 5.2. Решение. Интегрируя последовательно данное уравнение, имеем:
2. Уравнение, не содержащее искомой функции и её производных до порядка
Порядок уравнения можно понизить на k единиц заменой
Уравнение примет вид:
Из этого уравнения определяем
а затем из уравнения находим y k -кратным интегрированием.
Пример 5.3. Решение. Полагая Последовательно интегрируя, получаем:
3. Уравнение не содержит независимой переменной:
Подстановка
Подстановка этих выражений в уравнение приводит к понижению порядка на единицу. Пример 5.4. Решение. Уравнение не содержит независимой переменной x. Полагая получаем уравнение Подстановкой
общее решение которого
После обратной замены а после разделения переменных
Проинтегрировав, получаем откуда
Это - общий интеграл данного уравнения. Б. 4209. Решение. Интегрируя уравнение последовательно три раза, получим:
Это - общее решение. Б. 4163. Решение. Уравнение не содержит искомой функции
откуда
Проинтегрировав, получим
Учтем, что
и
Это - общее решение. Б. 4171. Решение. Уравнение не содержит переменной
Подставив всё в уравнение, получим:
После интегрирования:
и наконец,
Примеры для самостоятельного решения: Б.4157, Б.4166, Б.4177, Б.4183, Б.4190, Б.4213, Б.4214.
Дата добавления: 2015-06-04; Просмотров: 898; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |