Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Деякі відомості з функціонального аналізу




Математика для квантової механіки

Додаток до лекції

 

Нехай енергія вільної релятивістської частинки , . Із другого рівняння системи двох алгебраїчних лінійних рів­нянь для функцій і у випадку вільної релятивістської частинки знаходимо

Але

У нерелятивістській межі , , а , бо

Висновок. При переході до нерелятивістської теорії при основну роль відіграє функція , а функція є малою.


Математичний додаток

 

 

 

Лінійні простори. До поняття лінійного простору ми приходимо, розгля­даючи загальні властивості елементарних алгебраїчних операцій (додавання і мно­ження на число), з якими ми зустрічаємось у звичайній векторній алгебрі. Лінійним простором називається множина елементів будь-якої природи, для яких визначені операції додавання і множення на число з виконанням звичай­них для цих операцій законів. Елементами лінійного простору можуть бути, наприклад, вектори -вимірного евклідового простору, функції з множини непе­рервних функцій або функціонали. Для абстрактної теорії цих просторів конкретна природа їх елементів неістотна.

 

Простір функцій . Це клас (множина) комплекснозначних функцій трьох дійсних змінних , для яких

Надалі функції будемо називати векторами простору . Вико­ристовуватимемо позначення , , , .

 

Скалярний добуток у просторі . Нехай і – два вектори простору . За означенням

це скалярний добуток вектора на вектор . Надалі дуже зручно функцію називати со-вектором вектора , а наведений вище вираз читати як скалярний добуток со-вектора вектора на вектор і позначати його сим­волом .

 

Простір – унітарний векторний простір. У цьому просторі є конкретно визначений скалярний добуток для кожної пари векторів із .

 

Норма вектора простору . Число за означенням є нормою вектора . Коротко норму вектора позначають симво­лом . Якщо , тоді вектор – це так званий «нульовий» вектор в просторі . Отже, простір слід вважати нормованим.

 

Відстань між двома векторами простору . Для кожної пари , із є визначене дійсне число

Число задає відстань між векторами , із .

 

Простір – повний нормований векторний простір. Дійсно, адже нормований векторний простір, а це означає, що він є метричним з метрикою . Отже, в ньому мож­на дослідити питання про збіжність будь-якої фунда­ментальної послідовності векторів простору . Існує теорема: кожна послідовність векторів простору , яка задовольняє умову

,

тобто є послідовністю Коші, збігається до деякого вектора . Через це простір називають повним нормованим векторним простором. У матема­тиці повні унітарні векторні простори називають Ґільбертовими просторами.

 

Абстрактний простір Ґільберта. Досі ми мали конкретну реалізацію простору Ґільберта, коли роль векторів грали функції . Але таку роль можуть грати елементи множини будь-якої іншої природи. Наприклад, це мо­жуть бути множини матриць, множини скінченновимірних векторів, тощо. Че­рез це в подальшому для позначення векторів Ґільбертового проснору вико­ристовуватимемо два символи: та . На місці крапки всередині цих символів писатимемо «регалії» (тобто, значки), які відрізняють один вектор від іншого.

Якщо використаємо запропоновані символи для того, щоб модернізувати позначення векторів простору , то будемо їх представляти у вигляді та . Скалярний добуток вектора на вектор позначатимемо символом . Такі позначення вперше запропонував Дірак.

 

Простір спряжений до простору Ґільберта. Можна привести яскравий приклад лінійного функціонала в Ґільбертовому просторі – це скалярний добуток на довільно фіксованому векторі :

,

Можна довести, що функціонали цього типу вичерпують всі лінійні (неперерв­ні) функціонали (теорема Рисса). Це означає, що простір ізоморф­ний простору . Відомо також, що норма елемента дорівнює нормі відпо­відного йому елемента , тобто

Але . Отже, між множиною векторів типу і множиною векторів типу є взаємно-однозначна відповідність.

Надалі вектор, який задається символом услід за Діраком називатиме­мо бра-вектором (лівий), а вектор, який задається символом кет-векто­ром (правий). Символ зображає скалярний добуток бра-вектора на кет-вектор.

Як бачимо, у квантовій механіці так позначені вектори Ґільбертового просто­ру, що не існує скалярного добутку бра-вектора на бра-вектор, або кет-вектора на кет-вектор, а існує тільки скалярний добуток бра-вектора на кет-вектор.

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2015-06-04; Просмотров: 475; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.01 сек.