Интервал и радиус сходимости степенного ряда

Из теоремы Абеля следует, что если есть точка сходимости степенного ряда, то интервал весь состоит из точек сходимости данного ряда; при всех значениях х вне этого интервала ряд (7.3) расходится.

	-R		+R

Ряд сходится

Ряд расходится Ряд расходится

Рис. 3

Интервал и называют интервалом сходимости степенного ряда. Положив , интервал сходимости можно записать в виде (-R;R). Число R называют радиусом сходимости степенного ряда, т. е. R > 0 — это такое число, что при всех х, для которых , ряд (7.3) абсолютно сходится, а при ряд расходится (см. рис.3).

В частности, когда ряд (7.3) сходится лишь в одной точке , то считаем, что R = 0. Если же ряд (7.3) сходится при всех значениях (т. е. во всех точках числовой оси), то считаем, что .

Отметим, что на концах интервала сходимости (т.е. при и при ) сходимость ряда проверяется в каждом случае отдельно.

Для нахождения радиуса сходимости степенного ряда (7.3) можно поступить следующим образом. Составим ряд из модулей членов данного степенного ряда

и применим к нему признак Даламбера. Допустим, что существует предел

, .

По признаку Даламбера ряд сходится, если , т.е. ряд сходится при тех значениях х, для которых

;

ряд, составленный из модулей членов ряда (7.3), расходится при тех значениях х, для которых .

Таким образом, для ряда (7.3) радиус абсолютной сходимости

. (7.5)

Аналогично, воспользовавшись радикальным признаком Коши, можно установить, что

. (7.6)

Замечания.

1. Если , то можно убедиться, что ряд (7.3) абсолютно сходится на всей числовой оси. В этом случае . Если , то .

2. Интервал сходимости степенного ряда (7.4) находят из неравенства ; и он имеет вид .

3. Если степенной ряд содержит не все степени х, т.е. задан неполный степенной ряд, то интервал сходимости ряда находят без определения радиуса сходимости (формулы (7.5) и (7.6)), а непосредственно применяя признак Даламбера (или Коши) для ряда, составленного из модулей членов данного ряда.

Пример 7.3. Найти область сходимости ряда .

Решение: Воспользуемся формулой (7.5):

.

Следовательно, данный ряд абсолютно сходится на всей числовой оси.

Пример 7.4. Найти область сходимости ряда

Решение: Данный ряд неполный. Воспользуемся признаком Даламбера. Для данного ряда имеем:

, ,

.

Ряд абсолютно сходится, если или . Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости.

При имеем ряд , который сходится по признаку Лейбница.

При имеем ряд - это тоже сходящийся Лейбницевский ряд. Следовательно областью сходимости исходного ряда является отрезок .

Пример 7.5. Найти область сходимости ряда:

.

Решение: Находим радиус сходимости ряда по формуле (7.5):

.

Следовательно, ряд сходится при , т.е. при .

При имеем ряд

,

который сходится по признаку Лейбница.

При имеем расходящийся ряд

.

Следовательно, областью сходимости исходного ряда является полуотрезок .

Дата добавления: 2015-06-04