Приближенное вычисление определенных интегралов

НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ

Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора (Маклорена).

Для разложения функции в ряд Маклорена (8.3) нужно:

а) найти производные ;

б) вычислить значения производных в точке ;

в) написать ряд (8.3) для заданной функции и найти его интервал сходимости;

г) найти интервал , в котором остаточный член ряда Маклорена при . Если такой интервал существует, то в нем функция и сумма ряда Маклорена совпадают.

Замечание. В интервале сходимости степенного ряда остаточный член стремиться к нулю при .

Приведём таблицу, содержащую разложения в ряд Маклорена некоторых элементарных функций (эти разложения следует запомнить):

, , (8.4)

, , (8.5)

, , (8.6)

,

(8.7)

, , (8.8)

, , (8.9)

, , (8.10)

, (8.11)

, (8.12)

, , (8.13)

, . (8.14)

Докажем формулу (8.4). Пусть .

Имеем:

а) , , ,…., ,…….;

б) , , ,….., ;

в) ; ,

т.е. ряд сходится в интервале ;

г) для всех имеем , т.е. все производные в этом интервале ограничены одним и тем же числом . Следовательно, по теореме 8.2 . Таким образом, .

Докажем формулу (8.5). Пусть .

Имеем:

а) , , ,

…., ,………….;

б)

в) . Легко проверить, что полученный ряд сходится на всей числовой оси, т.е. при всех ;

г) любая производная функции по модулю не превосходит единицы, . Следовательно, по теореме (8.2) имеет место разложение (8.5).

Докажем формулу (8.6). Пусть .

Формулу (8.6) можно доказать также, как и формулу (8.5). Однако проще получить разложение функции , воспользовавшись свойством 3 степенных рядов. Продифференцировав почленно ряд (8.5), получим:

, .

Докажем формулы (8.13) и (8.14). Пусть (или ).

Заменив в формуле (8.4) на , получим разложение функции :

, (8.15)

справедливое для всех .

Суммируя и вычитая почленно равенства (8.4) и (8.15), получим разложение гиперболического косинуса (синуса):

, ,

, .

Формулы (8.13) и (8.14) доказаны.

Докажем формулу (8.7). Пусть , где .

Имеем:

а) , , ….,

, …., ;

б) , , ,….., ,….;

в) ;

г) , т.е. составленный для функции ряд сходится в интервале .

Можно показать, что и в данном случае, т.е. при , остаточный член R_n(x) стремится к нулю при .

Ряд (8.7) называется биномиальным. Если , то все члены ряда с (n + 1)-го номера равны 0, так как содержат множитель . В этом случае ряд (8.7) представляет собой известную формулу бинома Ньютона:

.

Докажем формулу (8.8). Пусть .

Формула (8.8) может быть получена разными способами:

1) пользуясь правилом разложения функции в ряд;

2) рассматривая ряд как ряд геометрической прогрессии, первый член которой равен единице и знаменатель q = х; известно (см. пример 7.1), что данный ряд сходится при и его сумма равна ;

3) воспользовавшись формулой (8.7): положив в ней и заменив х на - х, получим формулу (8.8).

Докажем формулу (8.9). Пусть .

Формула (8.9) также может быть доказана разными способами. Приведем один из них.

Рассмотрим равенство

,

справедливое для всех . Используя свойство 4 степенных рядов, проинтегрируем данный ряд на отрезке [0; x ], :

,

или

Можно показать, что это равенство справедливо и для х = 1.

Докажем формулу (8.10). Пусть .

Положив в формуле (8.7) и заменив х на х ², получим равенство

, .

Тогда:

,

или

Можно показать, что равенство справедливо и при х = ±1, т. е. при всех .

Докажем формулу (8.12). Пусть .

Положив в формуле (8.7) и заменив х на (- х ²), получим равенство

, .

Тогда

,

или

Можно показать, что полученное равенство справедливо при всех .

Ряды (8.4)-(8.14) в комбинации с правилами сложения, вычитания, умножения, дифференцирования, интегрирования степенных рядов (см. свойства степенных рядов) могут быть использованы также при разложении некоторых других функций в ряд Маклорена (Тейлора).

Пример 8.1. Разложить в ряд Маклорена функцию .

Решение:

Так как , то, заменяя на в разложении (8.4), получим:

, .

Пример 8.2. Выписать ряд Маклорена функции .

Решение: Так как

,

то, воспользовавшись формулой (8.9), в которой заменим на , получим:

,

или ,

если , т.е. .

Пример 8.3. Разложить в ряд Маклорена функцию .

Решение: Воспользуемся формулой (8.8). Так как

,

то, заменив на в формуле (8.8), получим:

,

или

,

где , т.е. .

9.1. Приближённые вычисления значений функции.

Пусть требуется вычислить значение функции при с заданной точностью .

Если функцию в интервале можно разложить в степенной ряд

и , то точное значение равно сумме этого ряда при т. е.

,

а приближенное значение, - частичной сумме , т.е.

.

Точность этого равенства увеличивается с ростом п. Абсолютная погрешность этого приближенного равенства равна модулю остатка ряда, т. е.

,

где

Таким образом, ошибку можно найти, оценив остаток ряда.

Для рядов лейбницевского типа

(см. п. 6.1).

В остальных случаях (ряд знакопеременный или знакоположительный) составляют ряд из модулей членов ряда и для него стараются найти (подобрать) положительный ряд с большими членами (обычно это сходящийся ряд геометрической прогрессии), который легко бы суммировался. В качестве оценки берут величину остатка этого нового ряда.

Пример 9.1. Найти sin 1 с точностью до 0,001.

Решение: Согласно формуле (8.5),

.

Стоящий справа ряд сходится абсолютно (проверить самостоятельно). Так как а , то для нахождения sin 1 с точностью до 0,001 достаточно первых трех слагаемых:

.

Допускаемая при этом ошибка меньше, чем первый отброшенный член (т.е. меньше, чем 0,0002). Вычисленное микрокалькулятором значение sin 1 примерно равно 0,84147.

Пример 9.2. Вычислить число с точностью до 0,001.

Решение: Подставляя х = 1 в формулу (8.4), получим:

Справа стоит знакоположительный ряд. Возьмем п слагаемых и оценим ошибку :

,

т.е. . Остается подобрать наименьшее натуральное число п, чтобы выполнялось неравенство .

Нетрудно вычислить, что это неравенство выполняется при . Поэтому имеем:

.

Замечание. Оценку остатка ряда можно производить с помощью остаточного члена ряда Маклорена

,

где с находится между 0 и . В последнем примере , . Так как , то . При имеем:

, .

Бесконечные ряды применяются также для приближенного вычисления неопределенных и определенных интегралов в случаях, когда первообразная не выражается в конечном виде через элементарные функции (см. [1] р.7 или [2] р.4), либо нахождение первообразной сложно.

Пусть требуется вычислить с точностью до . Если подынтегральную функцию f(x) можно разложить в ряд по степеням х и интервал сходимости включит в себя отрезок , то для вычисления заданного интеграла можно воспользоваться свойством почленного интегрирования этого ряда. Ошибку вычислений определяют так же, как и при вычислении значений функций.

Пример 9.3. Вычислить интеграл с точностью до .

Решение: Разложим подынтегральную функцию в ряд Маклорена, заменяя х на (- х²) в формуле (8.4):

, . (9.1)

Интегрируя обе части равенства (9.1) на отрезке , лежащем внутри интервала сходимости , получим:

Получили ряд лейбницевского типа. Так как , а ,

то с точностью до 0,001 имеем:

.

Замечание. Первообразную F(x) для функции легко найти в виде степенного ряда, проинтегрировав равенство (9.1) в пределах от 0 до х:

, .

Функции и играют очень важную роль в теории вероятностей. Первая - плотность стандартного распределения вероятностей, вторая - функция Лапласа (или интеграл вероятностей). Мы получили, что функция Лапласа представляется рядом

,

который сходится на всей числовой оси.

Дата добавления: 2015-06-04