Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Приближенное вычисление определенных интегралов




НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ

Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора (Маклорена).

 

Для разложения функции в ряд Маклорена (8.3) нужно:

а) найти производные ;

б) вычислить значения производных в точке ;

в) написать ряд (8.3) для заданной функции и найти его интервал сходимости;

г) найти интервал , в котором остаточный член ряда Маклорена при . Если такой интервал существует, то в нем функция и сумма ряда Маклорена совпадают.

 

Замечание. В интервале сходимости степенного ряда остаточный член стремиться к нулю при .

 

Приведём таблицу, содержащую разложения в ряд Маклорена некоторых элементарных функций (эти разложения следует запомнить):

 

, , (8.4)

 

, , (8.5)

 

, , (8.6)

 

,

(8.7)

 

, , (8.8)

 

, , (8.9)

 

, , (8.10)

 

, (8.11)

 

, (8.12)

 

, , (8.13)

 

, . (8.14)

 

Докажем формулу (8.4). Пусть .

Имеем:

 

а) , , ,…., ,…….;

 

б) , , ,….., ;

 

в) ; ,

 

т.е. ряд сходится в интервале ;

г) для всех имеем , т.е. все производные в этом интервале ограничены одним и тем же числом . Следовательно, по теореме 8.2 . Таким образом, .

 

Докажем формулу (8.5). Пусть .

 

Имеем:

а) , , ,

…., ,………….;

 

б)

 

в) . Легко проверить, что полученный ряд сходится на всей числовой оси, т.е. при всех ;

 

г) любая производная функции по модулю не превосходит единицы, . Следовательно, по теореме (8.2) имеет место разложение (8.5).

 

Докажем формулу (8.6). Пусть .

 

Формулу (8.6) можно доказать также, как и формулу (8.5). Однако проще получить разложение функции , воспользовавшись свойством 3 степенных рядов. Продифференцировав почленно ряд (8.5), получим:

 

, .

 

Докажем формулы (8.13) и (8.14). Пусть (или ).

 

Заменив в формуле (8.4) на , получим разложение функции :

 

, (8.15)

 

справедливое для всех .

Суммируя и вычитая почленно равенства (8.4) и (8.15), получим разложение гиперболического косинуса (синуса):

 

, ,

 

, .

Формулы (8.13) и (8.14) доказаны.

 

Докажем формулу (8.7). Пусть , где .

 

Имеем:

а) , , ….,

, …., ;

 

б) , , ,….., ,….;

 

в) ;

г) , т.е. составленный для функции ряд сходится в интервале .

 

Можно показать, что и в данном случае, т.е. при , остаточный член Rn(x) стремится к нулю при .

 

Ряд (8.7) называется биномиальным. Если , то все члены ряда с (n + 1)-го номера равны 0, так как содержат множитель . В этом случае ряд (8.7) представляет собой известную формулу бинома Ньютона:

 

.

 

Докажем формулу (8.8). Пусть .

 

Формула (8.8) может быть получена разными способами:

1) пользуясь правилом разложения функции в ряд;

2) рассматривая ряд как ряд геометрической прогрессии, первый член которой равен единице и знаменатель q = х; известно (см. пример 7.1), что данный ряд сходится при и его сумма равна ;

3) воспользовавшись формулой (8.7): положив в ней и заменив х на - х, получим формулу (8.8).

 

Докажем формулу (8.9). Пусть .

 

Формула (8.9) также может быть доказана разными способами. Приведем один из них.

 

Рассмотрим равенство

 

,

 

справедливое для всех . Используя свойство 4 степенных рядов, проинтегрируем данный ряд на отрезке [0; x ], :

 

,

 

или

 

 

Можно показать, что это равенство справедливо и для х = 1.

 

Докажем формулу (8.10). Пусть .

 

Положив в формуле (8.7) и заменив х на х 2, получим равенство

 

, .

 

Тогда:

,

или

 

Можно показать, что равенство справедливо и при х = ±1, т. е. при всех .

 

Докажем формулу (8.12). Пусть .

 

Положив в формуле (8.7) и заменив х на (- х 2), получим равенство

 

, .

Тогда

 

,

 

или

 

 

Можно показать, что полученное равенство справедливо при всех .

 

Ряды (8.4)-(8.14) в комбинации с правилами сложения, вычитания, умножения, дифференцирования, интегрирования степенных рядов (см. свойства степенных рядов) могут быть использованы также при разложении некоторых других функций в ряд Маклорена (Тейлора).

 

Пример 8.1. Разложить в ряд Маклорена функцию .

 

Решение:

 

Так как , то, заменяя на в разложении (8.4), получим:

 

, .

 

Пример 8.2. Выписать ряд Маклорена функции .

 

Решение: Так как

,

 

то, воспользовавшись формулой (8.9), в которой заменим на , получим:

 

,

 

или ,

 

если , т.е. .

 

Пример 8.3. Разложить в ряд Маклорена функцию .

 

Решение: Воспользуемся формулой (8.8). Так как

 

,

 

то, заменив на в формуле (8.8), получим:

 

,

 

или

 

,

 

где , т.е. .

 

 

 

9.1. Приближённые вычисления значений функции.

 

Пусть требуется вычислить значение функции при с заданной точностью .

Если функцию в интервале можно разложить в степенной ряд

 

 

и , то точное значение равно сумме этого ряда при т. е.

 

,

 

а приближенное значение, - частичной сумме , т.е.

 

.

 

Точность этого равенства увеличивается с ростом п. Абсолютная погрешность этого приближенного равенства равна модулю остатка ряда, т. е.

 

,

где

 

Таким образом, ошибку можно найти, оценив остаток ряда.

Для рядов лейбницевского типа

 

(см. п. 6.1).

 

В остальных случаях (ряд знакопеременный или знакоположительный) составляют ряд из модулей членов ряда и для него стараются найти (подобрать) положительный ряд с большими членами (обычно это сходящийся ряд геометрической прогрессии), который легко бы суммировался. В качестве оценки берут величину остатка этого нового ряда.

 

Пример 9.1. Найти sin 1 с точностью до 0,001.

 

Решение: Согласно формуле (8.5),

 

.

 

Стоящий справа ряд сходится абсолютно (проверить самостоятельно). Так как а , то для нахождения sin 1 с точностью до 0,001 достаточно первых трех слагаемых:

 

.

 

Допускаемая при этом ошибка меньше, чем первый отброшенный член (т.е. меньше, чем 0,0002). Вычисленное микрокалькулятором значение sin 1 примерно равно 0,84147.

 

Пример 9.2. Вычислить число с точностью до 0,001.

 

Решение: Подставляя х = 1 в формулу (8.4), получим:

 

 

Справа стоит знакоположительный ряд. Возьмем п слагаемых и оценим ошибку :

 

 

,

 

т.е. . Остается подобрать наименьшее натуральное число п, чтобы выполнялось неравенство .

Нетрудно вычислить, что это неравенство выполняется при . Поэтому имеем:

 

.

 

Замечание. Оценку остатка ряда можно производить с помощью остаточного члена ряда Маклорена

 

,

 

где с находится между 0 и . В последнем примере , . Так как , то . При имеем:

, .

 

 

Бесконечные ряды применяются также для приближенного вычисления неопределенных и определенных интегралов в случаях, когда первообразная не выражается в конечном виде через элементарные функции (см. [1] р.7 или [2] р.4), либо нахождение первообразной сложно.

Пусть требуется вычислить с точностью до . Если подынтегральную функцию f(x) можно разложить в ряд по степеням х и интервал сходимости включит в себя отрезок , то для вычисления заданного интеграла можно воспользоваться свойством почленного интегрирования этого ряда. Ошибку вычислений определяют так же, как и при вычислении значений функций.

 

Пример 9.3. Вычислить интеграл с точностью до .

Решение: Разложим подынтегральную функцию в ряд Маклорена, заменяя х на (- х2) в формуле (8.4):

 

, . (9.1)

 

Интегрируя обе части равенства (9.1) на отрезке , лежащем внутри интервала сходимости , получим:

 

 

Получили ряд лейбницевского типа. Так как , а ,

то с точностью до 0,001 имеем:

 

.

 

Замечание. Первообразную F(x) для функции легко найти в виде степенного ряда, проинтегрировав равенство (9.1) в пределах от 0 до х:

 

, .

 

Функции и играют очень важную роль в теории вероятностей. Первая - плотность стандартного распределения вероятностей, вторая - функция Лапласа (или интеграл вероятностей). Мы получили, что функция Лапласа представляется рядом

 

,

 

который сходится на всей числовой оси.

 

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2015-06-04; Просмотров: 2099; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.131 сек.