Пространственная система произвольно расположенных сил. 3 страница

Проверка:

∑ F_АУ = 0;

0≡0;

∑ F_АZ = 0; Z_А + S_ЕД – Р_1z + Z_В = 0

1398,33 – 498,33 – 141 – 759 = 0

1398,33 – 1398,33 = 0

0≡0;

Результаты расчётов сводим в таблицу 15:

Таблица 15.

, кН	, кН	, кН	, кН	ЕД, кН
0	1398,33	– 141	– 759	– 498,33

Пример 5 (к вариантам 41-60)

Ступенчатый вал (рис.1) закреплен двумя цилиндрическими шарнирами (подшипниками) – опора А и В. Диск радиуса R и два стержня длиной а жестко закреплены к валу. На конструкцию действуют: сосредоточенная сила ( //A_X); сосредоточенная сила ₂ ( ₂ //А_Z); сосредоточенная сила ₁ под углом α к оси АХ ( ₁ AY); пара сил с

моментом М, лежащая в плоскости ХY (в плоскости вала),

Дано: P₁ = 4 кН; Р₂ = 8 кН; М = 6 кН·м; а = 4м; в = 6м; с = 2м; R = 2м; α =60⁰

Определить реакции опор А, В, силу Q из условий равновесия конструкции.

Решение:

Рассмотрим равновесие конструкции. На нее действуют: заданные силы – сосредоточенная сила ||АХ; сосредоточенная сила || AZ; сосредоточенная сила под углом α к оси АХ (разлагаем её на две составляющие и , учитывая, что АY)

P_1Х = Р₁·cos α = 4· = 2 кН;

Р_1Z = Р₁·sin α = 4· = 3,46 кН;

Пара сил с моментом М, лежащая в плоскости вала (ху) и реактивные силы (реакции опор) – реакцию цилиндрического шарнира (подшипника) разложим на две составляющие - , и , соответственно (в плоскости, перпендикулярной оси подшипника) – рис. 2.

Для определения пяти неизвестных , , , и для полученной пространственной произвольной системы сил можно составить шесть уравнений равновесия:

Первый способ решения:

∑ F_AX = 0; –Q +X_A – P_1X + X_B = 0; (1)

∑ F_AY = 0; (2) – уравнение не имеет смысла для данной системы сил;

∑ F_AZ = 0; Z_A – P_1Z + P₂ + Z_B = 0; (3)

∑ M_AX () = 0; – a· P_1Z + (a + b)· P₂ + (a + b + c) · Z_B = 0; (4)

∑ M_AY () = 0; –R·Q + a· P_1Z + a· P₂ = 0; (5)

∑ M_AZ () = 0; –a·Q + a· P_1X + M – (a + b + c)· X_B = 0 (6)

При вычислении моментов относительно осей АХ и АZ силы применяем теорему Вариньона:

M_AX () = M_AX () + M_AX ();

M_AZ () = M_AZ () + M_AZ ();

M_AX () = 0 т.к. || AX;

M_AZ () = 0 т.к. || AZ;

Из уравнения 5) определяем численное значение силы :

= = = – 5,51 кН;

Подставляя найденную , из уравнение 6) находим величину реакции :

= = – = – 6,47 кН;

Из уравнения 4) находим численное значение реакции :

= = = – 5,51 кН;

Подставляя найденную , из уравнения 3) находим численное значение :

Z_A = P_1Z – Z_B = 3,46 – 8– (–5,51) = 0,97 кН;

Подставляя найденные и , из уравнения 1) вычисляем реакцию :

= Q + P_1X – X_B = 22,92 + 2 – (–6,47) = 31,39 кН;

2-й способ решения:

∑М_AX()=0; – а·P_1Z+(a+в)P₂+(a+в+c)Z_B=0; (1)

∑М_AY()=0; –R·Q+a·P_1Z+aP₂=0; (2)

∑М_AZ()=0; –aQ+a·P_1X+M– (a+в+c)X_В=0; (3)

∑М_ВХ()=0; –с·Р₂+(в+с)·P_1Z – (a+в+с)Z_A=0; (4)

∑М_BY()=0; –R·Q+a·P_1Z+a·P₂=0; (5)

∑М_BZ()=0; М – (в+с)·Р_1Х+(а+в+с)Х_А – (2а+в+с)·Q=0; (6)

Из уравнения 1) определяем численное значение реaкции :

= = = – 5,51 кН;

Из уравнения 4) вычисляем реакцию :

= = = 0,97 кН;

Уравнения 2) и 5) дублируют друг друга => численное значение находим из уравнения 2):

= = = 22,92 кН;

Подставляя найденную из уравнения 3) вычисляем реакцию ;

= = = – 6,47 кН;

Подставляя найденную ,из уравнения 6) находим численное значение реакции :

= = = 31,39 кН;

Проверка:

∑F_Kcx1=0; – Q+X_A – P_1X+X_B=0;

–22,92+31,39 –2 – 6,47=0

–31,39+31,39=0

0 ≡ 0

∑F_Kcz1=0: Z_A – P_1Z+P₂+Z_B=0;

0,97 – 3,46+8 – 5,51=0;

8,97 – 8,97=0

0 ≡ 0

Результаты расчётов сводим в таблицу 16:

Таблица 16.

, кН	, кН	, кН	, кН	, кН
31,39	0,97	– 6,47	– 5,51	22,92

Вопросы для самопроверки:

1. Виды связей и их реакции (пространственные опоры)?

2. Всякая ли система имеет равнодействующую?

3. Аналитическая форма условий равновесия пространственной системы: а) сходящихся сил? б) параллельных сил? в) произвольной системы сил?

4. Алгебраический момент силы относительно оси? Основные свойства момента?

5. Вектор – момент силы относительно оси и его свойства?

Дата добавления: 2015-06-04