Теоретическое введение. Изучение явления резонанса в колебательном контуре

Изучение явления резонанса в колебательном контуре

Цель ра­бо­ты: изу­че­ние ре­зо­на­нс­ных кри­вых и оп­ре­де­ле­ние па­ра­мет­ров ко­ле­ба­тель­но­го кон­ту­ра.

Обо­ру­до­ва­ние: ге­не­ра­тор зву­ко­вых ко­ле­ба­ний, ма­га­зин со­про­тив­ле­ний, мага­зин ем­ко­стей, мил­ли­ам­пер­метр, вольт­метр, ма­га­зин ин­дук­тив­но­стей.

Ко­ле­ба­тель­ным кон­ту­ром на­зы­ва­ет­ся элек­три­че­ская цепь, со­стоя­щая из вклю­чен­ных по­сле­до­ва­тель­но ка­туш­ки ин­дук­тив­но­стью L, кон­ден­са­то­ра ем­ко­стью С и ре­зи­сто­ра со­про­тив­ле­ни­ем R (рис. 22).

Рис. 22.

Ко­ле­ба­тель­ные кон­ту­ры слу­жат для воз­бу­ж­де­ния и под­держ­ки элек­тро­маг­нит­ных ко­ле­ба­ний. Ес­ли в ко­ле­ба­тельном кон­ту­ре от­сут­ст­ву­ют внеш­ние ис­точ­ни­ки элек­три­че­ской энер­гии, то для воз­бу­ж­де­ния в кон­ту­ре ко­ле­ба­ний не­об­хо­ди­мо пред­ва­ри­тель­но за­ря­дить кон­ден­са­тор. Элек­три­че­ские ко­ле­ба­ния, воз­ни­каю­щие в этом слу­чае, опи­сы­ва­ют­ся урав­не­ни­ем

(1)
и представляют собой свободные колебания, которые затухают с течением времени, вследствие потери энергии на джоулево тепло в резисторе R.

Если ввести в рассмотрение коэффициент затухания b = ^R/_2L и собственную частоту колебаний w₀ (w₀² = ¹/ _LC), представляющую собой частоту гармонических колебаний в идеальном колебательном контуре (R=0), то уравнение (1) можно записать в виде:

, (2)
При этом колебания заряда будут совершаться по закону

(3)
с частотой , (4)
меньшей собственной частоты колебаний w₀, и амплитудой

, (5)
уменьшающейся с течением времени по экспоненциальному закону.

Затухание нарушает периодичность колебаний, поэтому затухающие колебания не являются периодическими. Если затухание мало, то можно условно пользоваться понятием периода как промежутка времени между двумя последующими максимумами заряда и определять по формуле

(6)
Одной из величин, характеризующих быстроту затухания колебаний, является логарифмический декремент затухания q, численно равный

, (7)
где q ₀(t) - амплитуда заряда на обкладках конденсатора в момент вре­ме­ни t; q ₀(t+T) - амплитуда заряда в момент времени (t+T); t - время ре­лак­са­ции, т.е. про­ме­жу­ток вре­ме­ни, в те­че­ние ко­то­ро­го ам­пли­ту­да ко­ле­ба­ний умень­ша­ет­ся в e раз; N_e - чис­ло ко­ле­ба­ний, со­вер­шае­мых за вре­мя t.

Рис. 23.

Логарифмический декремент затухания связан с добротностью кон­ту­ра Q, которая при малых значениях q равна

. (8)
Что­бы в ре­аль­ном ко­ле­ба­тель­ном кон­ту­ре (Рис. 23) по­лу­чить не­за­ту­хающие элек­тро­маг­нит­ные ко­ле­ба­ния, в не­го нуж­но вклю­чить ис­точ­ник элек­три­че­ской энер­гии, э.д.с. e ко­то­ро­го из­ме­ня­ет­ся с те­че­ни­ем вре­ме­ни по гар­мо­ни­че­ско­му за­ко­ну

e (t)= e ₀cos wt. (9)
В ко­ле­ба­тель­ном кон­ту­ре ус­та­нав­ли­ва­ют­ся вы­ну­ж­ден­ные ко­ле­ба­ния с час­то­той w. Эти ко­ле­ба­ния мож­но рас­смат­ри­вать как про­те­ка­ние в це­пи, со­дер­жа­щей ре­зи­стор со­про­тив­ле­нием R, кат­уш­ку ин­дук­тив­но­стью L и кон­ден­са­тор ем­ко­стью С, пе­ре­мен­но­го то­ка, ко­то­рый мож­но счи­тать ква­зи­ста­цио­нар­ным. Ве­ли­чи­ну то­ка I оп­ре­де­лим, за­пи­сав за­кон Ома для у­ча­ст­ка це­пи 1- R - L - 2:

(10)
Здесь - разность потенциалов между обкладками кон­ден­са­то­ра, q - его заряд.

Учитывая, что , уравнение (10) можно преобразовать к виду

, (11)
использовав понятие коэффициента затухания b и частоты свободных не­за­ту­хаю­щих колебаний w ₀. Решением уравнения (11), если e (t) меняется с те­че­ни­ем времени по гармоническому закону (9), будет гармоническая функция

(12)
с амплитудой q ₀ и начальной фазой j ₀, зависящими от частоты w:

, (13)

. (14)
Си­лу то­ка в ко­ле­ба­тель­ном кон­ту­ре при ус­та­но­вив­ших­ся выну­ж­ден­ных ко­ле­ба­ни­ях в нем най­дем из (12):

, (15)

где , (16)
(17)
Зависимость I ₀(w) не является монотонной функцией w, а достигает мак­си­маль­но­го значения при

(wL- ¹/_{w С})=0 (18)

Яв­ле­ние рез­ко­го воз­рас­та­ния ам­пли­ту­ды вы­ну­ж­ден­ных элек­тро­маг­нит­ных ко­ле­ба­ний при из­ме­не­нии час­то­ты пи­таю­щей э.д.с. на­зы­ва­ет­ся элек­три­че­ским ре­зо­нан­сом. Значение w, при которой I ₀ имеет мак­си­маль­ное зна­че­ние, называется резонансной частотой w _р. Из (18) следует, что

. (19)
Графики зависимости I ₀(w) при различных R называются резонансными кривыми колебательного контура.

Найдем падение потенциала на отдельных участках показанной на рис. 2 цепи переменного синусоидального тока, определяемого со­от­но­ше­ни­ем (15):

, (20)
U_R = IR = U_{R 0} cos(wt - j), (21)
, (22)
причем (23)
или U_{C 0}= x_СI ₀; U_{R 0}= RI ₀; U_{L 0}=x _LI₀, (24)
где x _C = ¹/_wC - емкостное сопротивление, x _L = wL - индуктивное сопротивление, R - активное электрическое сопротивление.

Величина x = x_L - x_C называется реактивным сопротивлением элек­три­че­ской цепи, а

(25)
полным сопротивлением или импедансом.

Пользуясь этими понятиями, можно записать:

(26)
При x_L = x_C; x = 0 Z = Z_min = R. В этом случае U_{R 0} = e₀; U_{C 0} = U_{L 0} = ; j = 0. (27)
Так как U_C и U_L согласно (20) и (22) изменяются в противофазе, при ре­зо­нан­се общее падение напряжения на участке цепи 1 - R - L - 2

U=U_R+U_L+U_C=U_R=e ₀cosw t. (28)
Рассмотренный случай резонанса называют резонансом напряжений. Нетрудно видеть, что при резонансе напряжений

Рис. 24.

. (29)

На рис. 24 при­ве­де­ны за­ви­си­мо­сти ам­пли­туд­но­го зна­че­ния на­пря­же­ния на кон­ден­са­то­ре (кри­вая 1) и на­пря­же­ния на вы­хо­де ге­не­ра­то­ра (кри­вая 2) от час­то­ты (пи­та­щей э.д.с. Из при­ве­ден­ных за­ви­си­мо­стей вид­но, что наи­большее зна­че­ние ам­пли­ту­да на­пря­же­ния на кон­ден­са­то­ре име­ет при w < w₀. Учитывая, что U_C = ^q / _C и q изменяется в соответствии с (13), можно показать, что

. (30)
Вид резонансных кривых колебательного контура для различных значений R представлен на рис. 25.

Рис. 25.

1 - резонансная кривая для кон­ту­ра R ₁, L, C.

2 - резонансная кривая для кон­ту­ра R ₂, L, C.

R ₁< R ₂

(Q ₁ > Q ₂)

"Ост­ро­ту" ре­зо­нанс­ных кри­вых мож­но оха­рак­те­ри­зо­вать с по­мо­щью от­но­си­тель­ной ши­ри­ны Dw/w, где Dw - разность зна­че­ний w₂ и w₁ циклических час­тот, со­от­вет­ст­вую­щих зна­че­нию

.

Причем w₁=-b+ , w₂=b+ и Dw=w₂-w₁=2b.
Тогда от­но­си­тель­ная ши­ри­на ре­зо­нанс­ной кри­вой ко­ле­ба­тель­но­го кон­ту­ра рав­на

. (31)

Электрическая схема установки

Рис. 26.

Схема расположения приборов на панельном щитке представлена на рис. 27.

Рис. 27.

Щ 4313 - циф­ро­вые при­бо­ры для из­ме­ре­ния си­лы то­ка и на­пря­же­ний;

Г6-27 - ге­не­ра­тор зву­ко­вых ко­ле­ба­ний;

1 - тумб­лер для вклю­че­ния ус­та­нов­ки в сеть;

2 - ин­ди­ка­тор вклю­че­ния;

3 - пе­ре­клю­ча­тель вольт­метра; ра;

C₁, C₂, L₁, L₂ - тумб­ле­ры для включе­ния в цепь раз­лич­ных ко­леба­тель­ных кон­ту­ров.

НА ВЕРХ­НЕМ ПРИ­БО­РЕ Щ4313 - долж­ны быть на­жа­ты кноп­ки: "пит", " ~ ", " V ", " 50 ", ос­таль­ные от­жа­ты. При­бор ис­поль­зу­ет­ся для из­ме­ре­ния на­пря­же­ния U_c или U_г, в за­ви­си­мо­сти от по­ло­же­ния тумб­ле­ра 3.

НА НИЖ­НЕМ ПРИ­БО­РЕ Щ4313 - долж­ны быть на­жа­ты кноп­ки: "пит", " ~ ", " mA ", " 50 ", ос­таль­ные от­жа­ты. При­бор ис­поль­зу­ет­ся для из­ме­ре­ния си­лы то­ка.

НА ГЕ­НЕ­РА­ТО­РЕ - переключатель фор­мы сиг­на­лов - "~", переключатель "мно­жи­тель" - в по­ло­же­нии "10", край­ний пра­вый регулятор - на вто­рой точ­ке по­сле ну­ля

Дата добавления: 2015-06-04