Выборочные характеристики

Замена теоретической функции распределения F(х) на ее выборочный аналог F_n(x) в определении математического ожидания, дисперсии, стандартного отклонения и т. п. приводят к выборочному среднему, выборочной дисперсии, выборочному стандартному отклонению и т. д. Выборочные характеристики являются оценка­ми соответствующих характеристик генеральной совокупности. Эти оценки дол­жны удовлетворять определенным требованиям. В соответствии с важнейшими требованиями, оценки должны быть:

1. несмещенными, то есть стремиться к истинному значению характеристики ге­неральной совокупности при неограниченном увеличении количества испыта­ний;

2. состоятельными, то есть с ростом размера выборки оценка должна стремиться к значению соответствующего параметра генеральной совокупности с вероят­ностью, приближающейся к 1;

3. эффективными, то есть для выборок равного объема используемая оценка дол­жна иметь минимальную дисперсию.

Среди выборочных характеристик выделяют показатели, относящиеся к центру распределения (меры положения), показатели рассеяния вариант (меры рассея­ния) и меры формы распределения. К показателям, характеризующим центр рас­пределения, относят различные виды средних (арифметическое, геометрическое и т.. п.), а также моду и медиану.

Простейшим показателем, характеризующим центр выборки, является мода.

Мода − это элемент выборки с наиболее часто встречающимся значением (наибо­лее вероятная величина).

Средним значением выборки, или выборочным аналогом математического ожи­дания, называется величина

Иначе говоря, среднее значение − это центр выборки, вокруг которого группируются элементы выборки. При увеличении числа наблюдении среднее приближается к математическому ожиданию. Среднее значение обозначается также буквой М.

Выборочная медиана − это число, которое является серединой выборки, то есть половина чисел имеет значения большие, чем медиана, а половина чисел имеет значения меньшие, чем медиана. Для нахождения медианы обычно выборку ран­жируют − располагают элементы в порядке возрастания. Если количество членов ранжированного ряда нечетное, медианой является значение ряда, которое расположено посередине, то есть элемент с номером (n + 1)/2. Если число членов ряда четное, то медиана равна среднему членов ряда с номерами п/2 и n/2 + 1.

Основными показатели рассеяния вариант являются интервал дисперсия выбор­
ки, стандартное отклонение и стандартная; ошибка.

Интервал (амплитуда, вариационный размах) − это разница между максимальным и минимальным значениями элементов выборки. Интервал является про­стейшей и наименее надежной мерой вариации или рассеяния элементов вы­борке.

Более точно отражают рассеяние показатели, учитывающие не только крайние, но и все значения элементов выборки.

Дисперсией выборки, или выборочным аналогом дисперсии, называется величина

Дисперсия выборки − это параметр, характеризующий степень разброса элемен­тов выборки относительно среднего значения. Чем больше дисперсия, тем дальше отклоняются значения элементов выборки от среднего значения.

Выборочным стандартным отклонением (среднее квадратичное отклонение) на­зывается величина

Это параметр, также характеризующий степень разброса элементов выборки от­носительно среднего значения. Чем больше среднее квадратичное отклонение, тем дальше отклоняются значения элементов выборки от среднего значения. Параметр аналогичен дисперсии и используется в тех случаях, когда необходимо, чтобы по­казатель разброса случайной величины выражался в тех же единицах, что и сред­нее значение этой случайной величины. Часто выборочное стандартное отклоне­ние обозначают буквой (сигма).

Стандартная ошибка или ошибка среднего находится из выражения

Стандартная ошибка − это параметр, характеризующий степень возможного от­клонения среднего значения, полученного на исследуемой ограниченной выбор­ке, от истинного среднего значения, полученного на всей совокупности элементов. С помощью стандартной ошибки задается так называемый доверительный интер­вал. 95%-ный доверительный интервал, равный х ± 2т, обозначает диапазон, в ко­торый с вероятностью р = 0,95 (при достаточно большом числе наблюдений п > 30) попадает среднее генеральной совокупности MX.

Выборочной квантилью называется решение уравнения

В. частности, выборочная медиана есть решение уравнения

Показателями, характеризующими форму распределения, являются выборочные эксцесс и асимметрия.

Эксцесс − это степень выраженности «хвостов» распределения, то есть частоты появления удаленных от среднего значений.

Асимметрия − величина, характеризующая несимметричность распределения эле­ментов выборки относительно среднего значения. Принимает значения от -1 до 1. В случае симметричного распределения асимметрия равна 0.

Часто значения асимметрии и эксцесса используют для проверки гипотезы о том, что данные (выборка) принадлежат к определенному теоретическому распределе­нию, в частности, нормальному распределению. Для нормального распределения асимметрия равна нулю, а эксцесс − трем.

Дата добавления: 2015-06-29