Синтез пассивных полосовых фильтров

Этап аппроксимации. Задано: частоты f _п1 и f _п2 – границы ПП и частота f _з2 – граница ПН справа; ослабление А_min и А_max = D А (рис. 2.1, б). Используя понятие центральной частоты или средней геометрической частоты ПП и ПН

находим значение f _з1 – граничной частоты ПН слева.

Требования к характеристикам ПФ пересчитываются в требования к его НЧ-прототипу:

при тех же значениях А_min и А_max (рис. 2.1, а).

Зная требования к ослаблению ФНЧ можно пересчитать их в требования к АЧХ ФНЧ или, как это принято в теории фильтров, в требования к квадрату АЧХ | H (j 2p f)|² = | H (j w)|². Для унификации расчетов вместо угловой частоты w вводят понятие нормированной частоты W = w/w_н, где w_н – нормирующая частота. Обычно в качестве w_н выбирают граничную частоту ПП ФНЧ. Тогда

При синтезе ФНЧ используются универсальные соотношения [1]:

где y(W) – функция фильтрации; e – коэффициент неравномерности ослабления в ПП. Если в качестве y(W) используются полиномы, то фильтры называются полиномиальными. Среди последних наиболее широкое применение нашли фильтры Баттерворта и Чебышева.

У фильтров Баттерворта y(W) = В_m (W) = W ^m, где m – порядок фильтра. Характеристика H ²(W) = | H (j W)|², т. е. квадрата коэффициента передачи для таких фильтров разного порядка m приведена на рис. 2.3, а (кривая 1 – характеристика идеального ФНЧ, кривая 2 для m = 6, кривая 3 для m = 2). При W = 1 все кривые проходят через точку, зависящую от e. Из анализа рисунка видно, что e действительно определяет неравномерность коэффициента передачи ФНЧ в ПП.

Если в (2.4) положить y(W) = В_m (W), а j W = р, то после преобразований получим передаточную функцию фильтра в виде

где H ₀ = 1/e.

У фильтров Чебышева функция фильтрации y(W) = Т_m (W) = = cos m × arccosW для области нормированных частот –1 Ô W Ô 1. Характеристика квадрата коэффициента передачи при разных m показана на рис. 2.3, б (кривая 1 – характеристика идеального ФНЧ, кривая 2 для m = 4, кривая 3 для m = 2). Анализ кривых на рис. 2.3, б показывает, что полином Чебышева в интервале 0 Ô W Ô 1 принимает экстремальные значения (min или max) m + 1 раз. Или по иному: порядок фильтра нижних частот Чебышева по кривой H ²(W), или по любой другой частотной характеристике фильтра, определяется удвоенным количеством периодов колебаний в ПП, рассчитанном на уровне полосы пропускания. На рис. 2.3, б: граница полосы пропускания по частоте – это W = 1; уровень полосы пропускания – это 1/(1 + e²).

Передаточная функция фильтра Чебышева описывается тем же выражением (2.6), но коэффициент H ₀ = 1/(e×2 ^{m –1}).

Анализ кривых на рис. 2.3 показывает, что:

– чем выше порядок фильтра, тем выше его избирательность за счет уменьшения переходной области;

– при одинаковом порядке m избирательность фильтров Чебышева выше избирательности фильтров Баттерворта;

– у фильтров Чебышева ФЧХ в полосе пропускания имеет нелинейный характер за счет волнового характера изменения Н ²(W) в ПП.

Итак, этап аппроксимации при синтезе ПФ заканчивается получением функции H (p) для НЧ-прототипа.

Этап реализации. Если фильтр со стороны зажимов 1–1¢ рассматривать как двухполюсник, образованный реактивным четырехполюсником и нагрузкой R _н (рис. 2.2), то, можно оперировать понятием входного сопротивления Z _вх.1(р) двухполюсника со стороны зажимов 1–1¢:

где s(р) – коэффициент отражения, характеризующий несогласованность между сопротивлениями R _г и Z _вх.1(р). Если известно Z _вх.1(р), то двухполюсник можно реализовать, например, методом Дарлингтона [1, 2]. Один из возможных вариантов реализации схемы названным методом сводится к следующему. Осуществляют нормирование Z _вх.1 по сопротивлению, выбирая в качестве нормирующего, сопротивление R _г, а коэффициент отражения записывают через табулированный полином h (р): s(р) = h (р)/ v (р). Тогда (2.7) записывают как

Например, для фильтров Чебышева третьего порядка сам полином Чебышева равен:

а полином h (р) будет:

Подставляя h (р) из (2.10) и v (р) из (2.6) в (2.8), записывают Z _вх.1(р) в виде цепной дроби и по ней составляют схему двухполюсника, т. е. LC- фильтра нижних частот, нагруженного на сопротивление R _н. Элементы этой схемы представлены величинами, нормированными по частоте и по сопротивлению. Поэтому следующей операцией расчета является операция денормирования значения элементов НЧ-прототипа. После этого, используя формулы преобразования частоты, переходят от схемы НЧ-прототипа к схеме полосового фильтра. Элементы схемы ПФ, очевидно, будут иметь сразу реальные значения.

Дата добавления: 2015-07-02