Теорема (Необходимый признак представительности функции тригонометрическим рядом)

ПОНЯТИЕ РЯДА ФУРЬЕ В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ

Интегральное свойство гармоники

Периодичность гармоники

Свойства

ПОНЯТИЕ И СВОЙСТВА ГАРМОНИК

Определение. Гармониками называются комплекснозначные функции вида , где – действительная переменная,

- частота гармоники, Т – период,

При гармоника называется несобственной, при имеем собственные гармоники.

Гармоники являются периодическими функциями с периодом Т.

Доказательство. Имеем

.

, где – любое число.

Доказательство

а) При имеем

б) Если , то

Определение 1. Функциональный ряд вида

(1)

называется тригонометрическим рядом. Числа называются коэффициентами ряда.

Определение 2. Тригонометрический ряд называется рядом Фурье для функции на , если коэффициенты ряда вычисляются по формулам

. (2)

Для того, чтобы функция была представима на тригонометрическим рядом вида , необходимо, чтобы этот ряд являлся рядом Фурье, т.е. чтобы коэффициенты вычислялись по формулам , .

Доказательство

Пусть функция представима на тригонометрическим рядом .

Умножим обе части этого равенства на :

.

Предполагая возможность интегрирования под знаком ряда, проинтегрируем по промежутку :

.

Т.к.

, то

.

Заменив k на n, получим (1).

Дата добавления: 2015-07-02