Теорема Дирихле (достаточный признак представимости функции рядом Фурье)

ТЕОРЕМА ДИРИХЛЕ

Определение 1. Функция называется кусочно-непрерывной на , если она непрерывна на этом промежутке или имеет на нем конечное число разрывов I рода.

Определение 2. Функция называется кусочно-монотонной на , если она монотонна на всем отрезке, либо этот отрезок можно разбить на конечное число интервалов так, что на каждом из них функция монотонна (т.е. функция на имеет конечное число экстремумов).

Определение 3. Говорят, что удовлетворяет условиям Дирихле на , если на является кусочно-непрерывной и кусочно-монотонной.

Если функция удовлетворяет условиям Дирихле на , то ряд Фурье для этой функции сходится на этом отрезке и при этом:

1. В точках непрерывности функции сумма ряда совпадает с самой функцией:

2. В каждой точке разрыва функции сумма ряда равна среднему арифметическому пределов функции слева и справа:

3. В точках и (на концах отрезка) сумме ряда равна

.

Замечания

1. Условиям Дирихле удовлетворяют многие функции, которые встречаются в математике и ее приложениях. Однако существуют функции, не удовлетворяющие условиям Дирихле, но при этом представимые рядом Фурье, т.е. теорема Дирихле дает лишь достаточное условие представимости, но не необходимое.

2. Теорема о периодическом продолжении функции.

Сумма ряда Фурье есть периодическая функция с периодом Т.

Доказательство

при любом х.

Т.о., график функции есть график периодической функции на всей числовой оси. Говорят, что периодически продолжает на всю числовую ось функцию , заданную на .

Пример 1. Разложить функцию , заданную на отрезке , в ряд Фурье в комплексной форме.

Решение. Данная функция в указанном интервале удовлетворяет условиям Дирихле.

По формулам (2) имеем

Т.к. , то ,

.

В интервале этот ряд представляет функцию , а в точках его сумма равна .

Дата добавления: 2015-07-02