Ряд Фурье для четных и нечетных функций

Если разлагаемая на отрезке в ряд Фурье функция является четной или нечетной, то это отражается на формулах коэффициентов ряда (вычисление их упрощается) и на виде самого ряда.

Если функция четная, то ее ряд Фурье имеет вид

, (9)

где , . (10)

Если функция нечетная, то ее ряд Фурье имеет вид

(11)

где . (12)

Доказательство

Известно, что если функция интегрируема на симметричном отрезке , то

если

Если - четная, то - четная функция , а - нечетная функция .

Если же - нечетная функция, то - нечетная, а - четная функция.

С учетом этих фактов и из формул (5)-(6) получаем формулы (9)-(12).

Ряды (9) и (11) называются неполными рядами Фурье, или рядами по косинусам и по синусам соответственно.

Пример 4. Разложить в ряд Фурье функцию , заданную на .

Решение. Эта функция на является непрерывной, следовательно, удовлетворяет условиям Дирихле. В силу нечетности все коэффициенты , .

.

Ряд Фурье для данной функции содержит только синусы

для любого ; .

Пример 5. Разложить в ряд Фурье функцию , заданную на .

Решение. Данная функция удовлетворяет на условиям Дирихле, является четной.

, , ;

.

Заметим, что если .

Итак, получим следующее разложение в ряд Фурье:

.

Т.к. , то на график функции совпадает с графиком ряда Фурье.

8. РЯД ФУРЬЕ ДЛЯ ФУНКЦИИ, ЗАДАННОЙ НА

1. Отрезок можно считать частным случаем промежутка . В этом случае функцию можно разложить в ряд Фурье (3), коэффициенты которого определяются по формулам (4), то есть ряд Фурье содержит косинусы и синусы.

2. Функцию, заданную на , можно продолжить на промежутке и получить ряд Фурье на промежутке .

а) В частности, функцию можно доопределить четным образом (т.е. чтобы при ). В этом случае функция разлагается в ряд Фурье, который содержит только косинусы.

б) Если же функцию продолжить на нечетным образом, то она разлагается в ряд Фурье только из синусов.

Пример 6. Разложить функцию в ряды Фурье, содержащие только синусы или только косинусы.

1) Чтобы получить разложение данной функции в ряд Фурье, содержащий только косинусы, продолжим ее на интервал четным образом.

Тогда для любого . Согласно формулам (10):

, .

Если , то ;

если , , то

.

При .

Итак, .

Это разложение справедливо во всей области определения данной функции. На отрезке график суммы полученный ряд отличается от графика данной функции точкой с координатами .

2) Продолжим данную функцию на интервал нечетным образом, чтобы получить разложение данной функции в ряд Фурье, содержащий только синусы.

Тогда ,

.

Если , то ;

если , то если .

Итак, искомое разложение в неполный ряд Фурье, содержащий только синусы, имеет вид .

Дата добавления: 2015-07-02