Дополнение к примеру 1

РЯД ФУРЬЕ В ВЕЩЕСТВЕННОЙ ФОРМЕ

Пусть функция удовлетворяет на условиям Дирихле, тогда она представима на этом промежутке рядом Фурье

, (1)

где . (2)

Преобразуем ряд (1)

.

Используя формулы

получим

.

Введём обозначения .

Имеем

.

Получим формулы для коэффициентов , , :

;

,

т.к. , то ;

,

т.к. , то .

Итак, ряд Фурье в вещественной форме для функции на имеет вид

; (3)

,

, (4)

.

Чтобы преобразовать ряд, полученный в примере 1 для функции в комплексной форме, к вещественной форме, следует объединить слагаемые с индексами и и заменить по формулам Эйлера показательные функции тригонометрическими:

,

При вычисляем .

Следовательно,

.

Пример 2. Разложить в ряд Фурье функцию , заданную на отрезке .

Решение. Данная функция на удовлетворяет условиям Дирихле, поэтому может быть разложена в ряд Фурье.

(интегрируем по частям: ; ; ; )

= для всех

При полученное выражение для не имеет смысла, поэтому коэффициент вычисляем отдельно

.

.

Для вычисления интеграла применена формула интегрирования по частям:

; ; ; .

Подставляя значения коэффициентов и в тригонометрический ряд (3), получим искомое разложение данной функции в ряд Фурье:

.

Это разложение справедливо (полученный ряд сходится к данной функции) при любом .

В точках и сумма ряда равна .

Пример 3. Написать ряд Фурье для функции при .

Решение.

(для вычисления второго интеграла применяем формулу интегрирования по частям: ; ; ; )

;

;

.

Искомое разложение имеет вид

.

Оно справедливо для всех ; :

в интервале (0;2) сумма ряда , в интервале (2;4) .

В точке разрыва .

В точках и сумма равна .

5. РЯД ФУРЬЕ ДЛЯ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ НА ПРОМЕЖУТКЕ

Пусть функция на удовлетворяет условиям Дирихле, тогда она представима на этом промежутке рядом Фурье (3) с коэффициентами (4).

Положив , имеем

.

И формулы (3), (4) принимают вид

, (5)

где

;

, (6)

,

6. РЯД ФУРЬЕ ДЛЯ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ НА ПРОМЕЖУТКЕ

Это частный случай предыдущего разложения, когда :

, (7)

где

;

, (8)

,

Дата добавления: 2015-07-02