Л екция 1. Основные понятия и определения

СПЕЦИАЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ.

Курса

ПРОГРАММА

Москва 2007 год

Лекций по разделу

«ЭЛЕМЕНТЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА, РЯДЫ И ОБОБЩЕННЫЕ РЯДЫ ФУРЬЕ-ЭЙЛЕРА»

(IV семестр, II курс, поток АЭ 8-13,2007г)

1.Последовательности числовые и функциональные: ограниченная сверху (или снизу), ограниченная; бесконечно малая (большая); монотонная; сходящаяся; предел последовательности; предельная функция, Равномерная сходимость.

1.2. Ряды числовые и функциональные. Сходимости: равномерная, в среднем, в среднеквадратичном на заданном интервале. Ряд, частичная сумма ряда; сумма ряда; остаток ряда; равномерно сходяшийся функциональный ряд.

1.2.1. Свойства сходящихся рядов: перестановки мест слагаемых; сочетания элементов; распределительное свойство; сумма ряда; интеграл от суммы; производная от суммы.

1.2.2. Признаки сходимости рядов: сравнения, мажорирования, оценки остаточных сумм.

1.2.3. Критерии сходимости функциональных рядов: в среднем, в среднеквадратичном.

1.3. Функциональные ряды. Фундаментальная система функций. Коэффициенты разложения.

1.3.1. Степенные ряды.

1.3.2 Обобщенные ряды Фурье; ортогональная фундаментальна система функций, ортонормированная фундаментальная система функций.

2. Тригонометрические ряды Фурье - Эйлера.

2.1. Ряд Фурье - Эйлера на основном интервале ().

2.2. Ряд Фурье-Эйлера на основном интервале ().

2.3. Ряд Фурье-Эйлера на основном интервале ().

Лекция 2. Ряды Фурье-Эйлера для четных и нечетных функций на основных интервалах. Сходимость рядов Фурье-Эйлера. Приложение рядов Фурье-Эйлера.

2.1. Четные функции.Ряды Фурье-Эйлера для четных функций.

2.1.1. Ряд Фурье-Эйлера четных на основном интервале ().

2.1.2. Ряд Фурье-Эйлера четной на основном интервале ().

2.2. Нечетные функции.Ряды Фурье-Эйлера для нечетных функций.

2.2.1. Ряд Фурье-Эйлера нечетных на основном интервале ().

2.2.2. Ряд Фурье-Эйлера нечетной на основном интервале ().

2.3. Теоремы об условиях сходимости рядов Фурье-Эйлера.

2.3.1. Теорема

2.3.2. Теорема Дирихле

2.4. Теоремы об условиях дифференцируемости рядов Фурье-Эйлера.

1.5. Частичная сумма ряда Фурье-Эйлера, невязка (расхождение, уклонение). Неравенства Бесселя и равенство Парсеваля –Ляпунова.

2.5.1. Частичная сумма рядов Фурье-Эйлера

2.5.2. Характер зависимости коэффициентов Фурье-Эйлера от номера.

2.5.3. Неравенство Бесселя.

2.5.4. Равенство Ляпунова.

2.5.6. Полнота фундаментальной системы функций в смысле средне квадратичного.

2.5.7. Эффект Гиббса (неустранимая погрешность в окрестности точек разрыва).

2.6. Приложение рядов Фурье-Эйлера.

2.6.1. Приближение (аппроксимация) функций (гармонический анализ).

2.6.2. Применение рядов Фурье-Эйлера при решении краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений с неоднородной правой частью –кусочно - непрерывной функцией.

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ.

1). Последовательности числовые и функциональные: сходящаяся; предел последовательности; предельная функция, равномерная сходимость.

2). Ряды числовые и функциональные. Сходимости: равномерная, в среднем, в среднеквадратичном.

3). Функциональные ряды: фундаментальная система функций, коэффициенты разложения.

4). Степенные ряды Тейлора – Маклорена..

5). Обобщенные ряды Фурье; ортогональная и ортонормированная фундаментальна система функций; коэффициенты обобщенного ряда Фурье..

6). Тригонометрические ряды Фурье – Эйлера; ортогональная и ортонормированная фундаментальна система функций на отрезке ; коэффициенты ряда.

7). Тригонометрические ряды Фурье – Эйлера; ортогональная и ортонормированная фундаментальна система функций на отрезке ; коэффициенты ряда.

8). Тригонометрические ряды Фурье – Эйлера; ортогональная и ортонормированная фундаментальна система функций на отрезке ; коэффициенты ряда.

9). Тригонометрический ряд Фурье-Эйлера для четных на основном интервале ().

ряда.

10). Тригонометрический ряд Фурье-Эйлера для четной на основном интервале ().

11). Тригонометрический ряд Фурье-Эйлера для Ряд Фурье-Эйлера нечетных на основном интервале ().

12). Тригонометрический ряд Фурье-Эйлера для нечетной на основном интервале ().

13). Теоремы Дирихле о сходимости рядов Фурье-Эйлера.

14). Дифференцируемость рядов Фурье-Эйлера.

15). Неравенства Бесселя и равенство Парсеваля –Ляпунова.

16). Характер зависимости коэффициентов Фурье-Эйлера от номера разложения.

17). Полнота фундаментальной системы функций.

18). Эффект Гиббса.

19). Приложение рядов Фурье-Эйлера: приближение (аппроксимация) функций (гармонический анализ).

20). Применение рядов Фурье-Эйлера при решении краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений с неоднородной правой частью –кусочно - непрерывной функцией.

Дата добавления: 2015-07-02